Re: Un peu de mathématiques...

Apeiron Lun 27 Avr - 22:20

Ce que je veux dire, c'est que en sachant que les 4 premiers ont survécus, le 5ème peut penser que si le premier pistolet est bien le pistolet tueur, il mourra automatiquement s'il le prend.

J'ai bien compris, sauf qu'il faut pouvoir comparer le risque d'avoir peu de balle et le fait que le pistolet a déjà tiré sans tuer.

Je ne suis pas d'accord quand tu dis qu'il faut forcément qu'on arrive à 100% en additionnant les pourcentages, car pour le premier pourcentage je me suis basée sur le pourcentage de survie en sachant que le pistolet pouvait être soit tueur soit innocent.

Il n'y a que deux possibles : le prisonnier meure ou il ne meure pas. Chacune de ces possibilités est associée avec une probabilité, qui correspond à évaluer l'ensemble des univers où l'évènement arrive par rapport à l'ensemble des univers. La somme des deux possibilités donne l'univers total, qui correspond à l'ensemble des évènements.

S'il est innocent, 100% de survie. S'il est tueur, 0%. Cela fait une moyenne de 50% de chances de survie, non?

Prenons un astéroïde quelconque tombant sur la terre. S'il tombe sur toi, tu es certaine de mourir, s'il tombe ailleurs tu es certaine de survivre. Tu penses vraiment que pour tous les astéroïdes tombant sur la terre tu as 50% de chances de survivre ? Si tu n'es pas convaincue, tu peux répéter ce raisonnement pour les crises cardiaques ou les accidents...
Ce qui importe c'est de déterminer le pourcentage que le pistolet utilisé par les autres soit tueur ou pas, de façon à faire le choix le moins risqué.

Pour le deuxième, c'est un pourcentage minimum. Si le deuxième pistolet est innocent, alors il aura 100% de chances de survie. Sinon, il n'aura que 4 chances sur 6 de survivre.

Statistiquement, prendre le 2ème pistolet en cas de survie des 4 premiers prisonniers semble présenté plus de chances de survie que le premier, non?

Normalement non. Je dis normalement car je n'ai pas encore fini de vérifier le calcul.
Mais de toutes façons tu fais tes raisonnements sur le mauvais problème et sans tenir compte des informations dont tu disposes. C'est un peu comme si tu ne voyais qu'une partie de la situation.

Keira Lun 27 Avr - 23:46

Comment ça je n'utilise pas les informations dont je dispose déjà? Je sais que le premier pistolet n'a pas encore tué... ça ne l'innocente pas pour autant!

Apeiron Mar 28 Avr - 10:34

Tu n'utilises pas ce renseignement. A la rigueur c'est presque comme si tu te plaçais dans un cadre où tu ignores ce qu'il s'est passé précédemment.

Keira Mar 28 Avr - 11:19

Je suis perdue là... je ne vois vraiment pas en quoi je l'ignore. Justement, j'en prend compte.

Apeiron Mar 28 Avr - 12:01

je me suis basée sur le pourcentage de survie en sachant que le pistolet pouvait être soit tueur soit innocent. S'il est innocent, 100% de survie. S'il est tueur, 0%. Cela fait une moyenne de 50% de chances de survie, non?

Les coups précédents apportent de l'information, car il est peu probable que le pistolet tueur ait tiré quatre coups non tueurs.
La question posée par le choix des prisonniers revient en fait à comparer deux éléments opposés :
1) Un coup non tueur porté "teste" un pistolet et diminue les chances que ce pistolet soit le pistolet tueur.
2) Un coup non tueur porté diminue le nombre de balles non tueuses et augmente les risques de mourir si le pistolet est le pistolet tueur.
Le premier incite à faire confiance au pistolet, le second incite à ne pas lui faire confiance. Tu ne tiens compte que du second.

Après, il est possible d'argumenter longtemps, mais si tu accordes un minimum d'importance aux faits la discussion sur ce qui est vrai s'arrête avec les résultats obtenus, alors que la discussion sur l'explication de ces faits peut continuer.
Les résultats mathématiques sont là : si ton raisonnement était juste le second aurait intérêt à changer de pistolet, mais ce n'est pas le cas.
De toutes façons, ton raisonnement ne peut être juste car il n'est pas cohérent d'obtenir une probabilité plus grande que 100%.

Keira Mar 28 Avr - 12:13

Mon raisonnement est bancale, je l'accorde, mais pas nécessairement faux.

Je tiens compte plus particulièrement de la seconde théorie, il est vrai. Je suis également d'accord avec toi sur le fait qu'un tir teste le pistolet. En revanche, je dirais que le test ne devient véritablement efficace qu'à partir du moment où il y a un mort.

Ce que tu dis sur le 2ème devant prendre le 2ème pistolet est justement envisageable. C'est pour cela que je m'étais arrêté au premier prisonnier au début de notre conversation (flemme de calculer, d'autant que j'ai plus ou moins oublié le processus exacte pour le faire).
Justement... si on devait calculer les probabilités en sachant que le second (ou bien même le 3ème) peut changer de pistolet... Le sixième aurait-il toujours le plus de chances de s'en sortir?

Tirer 4 coups d'affilée avec un pistolet tueur sans qu'une vraie balle ne sorte peut être peu probable... mais pas impossible. N'est ce pas le même principe aléatoire que pour les dés?
C'est pourquoi les tests ne deviennent efficaces qu'à partir du premier mort.

Apeiron Mar 28 Avr - 18:22

Mon raisonnement est bancale, je l'accorde, mais pas nécessairement faux.

Il conduit à une incohérence, donc une proposition fausse permet de prouver n'importe quoi, il permet de prouver que je suis toi et je suis donc bien placé pour dire que tu fais erreur.
Il conduit à une incohérence, tu veux vraiment ergoter dessus ?

Je tiens compte plus particulièrement de la seconde théorie, il est vrai. Je suis également d'accord avec toi sur le fait qu'un tir teste le pistolet. En revanche, je dirais que le test ne devient véritablement efficace qu'à partir du moment où il y a un mort.

Sauf que j'ai démontré (en tout cas pour le second prisonnier) que même si le premier prisonnier survit il vaut mieux utiliser le même pistolet. Je serai ravi que tu me montres que tu as raison, que tu me montres que j'ai tort ou que tu montres autre chose de pertinent pour le sujet, mais pour l'instant tu te contentes d répéter ta théorie que j'ai comprise et réfutée.

Justement... si on devait calculer les probabilités en sachant que le second (ou bien même le 3ème) peut changer de pistolet... Le sixième aurait-il toujours le plus de chances de s'en sortir?

Le problème posé est clair : ils tirent successivement et en faisant le meilleur choix mathématique.
Soit il y a un mort, et le sixième prend le pistolet non tueur, soit il n'y en a pas et les cinq premiers ont intérêt à prendre le même pistolet, ce qui assure que le sixième prendra le pistolet non tueur. Il est même intéressant qu'il soit possible d'avoir une position certaine de survie (en fait c'est la seule).

Tirer 4 coups d'affilée avec un pistolet tueur sans qu'une vraie balle ne sorte peut être peu probable... mais pas impossible. N'est ce pas le même principe aléatoire que pour les dés?

Bien sûr. A ce stade le cinquième prisonnier n'est pas certain de s'en sortir. Normalement le calcul devrait montrer qu'il a intérêt à conserver le même pistolet.

Il s'agit de probabilités, et il est bien rare qu'un résultat soit certain. Il y a très souvent un risque, alors la question est de pouvoir l'évaluer.

Keira Mar 28 Avr - 18:26

Tu as réfuté mathématiquement? Montre moi les calculs dans ce cas parce que je doute que mathématiquement, conserver le même pistolet soit la meilleure solution mathématiquement...

Apeiron Mar 28 Avr - 18:30

Page 3 du topic (le message initialement était adressé à Elrohir) :

Le premier n'a pas vraiment le choix, vu qu'il n'a pas d'info. Il prend un pistolet au hasard et tire.
S'il meure, tout le monde sait quel est le bon pistolet. Donc les six suivants vont utiliser le pistolet non tueur. Les prisonniers 2 à 7 seront donc sauvés, et les autres auront des chances de se faire tuer avec la dernière balle tueuse.

Ainsi, je suis d'accord avec toi pour ce cas.

Second cas : le premier n'est pas mort. Nous avons donc un pistolet à cinq balle qui n'a pas tué et un pistolet à six balles qui reste intouché. Réfléchissons...
La question est de savoir ce qu'apporte l'information offerte par le premier tir. La question pour le second prisonnier est donc d'évaluer quel est le bon pistolet. Soit T l'évènement "le pistolet utilisé est tueur". Soit S l'évènement "le premier prisonnier survit".

Faisons de la spéculation (oublions ce que nous avons et examinons le problème sous un certain angle).
Admettons que nous sachions que le pistolet utilisé est tueur. Dans ce cas, le premier prisonnier a utilisé une des 4 balles blanches sur les six balles, et donc il avait une probabilité de survivre de 2/3. p(S|T) = 2/3
Or, p(S|T) = p(S&T)/p(T), d'où p(S|T)*p(T) = p(S&T), où p(S&T) est la probabilité que le premier prisonnier survive et que le pistolet soit tueur.
D'ailleurs, en l'absence d'information (le cas du premier prisonnier), il n'y a pas moyen de déterminer quel est le pistolet tueur, car p(T) =1/2 = p(-T).
D'où p(S&T) = p(S|T)*p(T) = 2/3 * 1/2 = 1/3.

Je n'ai pas encore utilisé l'info offerte par le premier tir (maintenant nous utiliserons le fait que le premier prisonnier a survécu).
Nous ne cherchons en fait pas à calculer le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre (ce qui revient à déterminer le pourcentage de chance pour que le pistolet utilisé soit tueur), mais le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre EN SACHANT que le premier a survécu, soit p(T|S).
Nous avons p(T|S) = p(T&S)/p(S). Notons que p(T&S)=p(S&T) que nous avons déjà calculé, et calculons p(S).
p(S) est la probabilité que le premier prisonnier survive. C'est 1-p(-S) où l'évènement -S est l'évènement "le premier prisonnier meurt". Nous savons que p(-S)=1/6, comme tu l'as rappelé. D'où p(S) = 1- 1/6 = 5/6.
Donc p(T|S) = (1/3) / (5/6) = 2/5.

Conclusion, en sachant que le premier prisonnier a survécu, la probabilité que le pistolet utilisé soit le pistolet tueur est de 2/5 (en donc l'autre pistolet a une probabilité de 3/5 d'être le pistolet tueur).
Donc il vaut mieux dans ce cas que le second utilise le même pistolet que le premier (ce résultat, je l'avais intuité quand le problème m'a été posé ^^).

Je te laisse réfléchir ^^

Derich Mer 6 Mai - 18:55

Je sais pas où mettre cette énigme, donc je tente ici.

Une promo de 500 polytechniciens sont capturés par des terroristes et rapidement maitrisés. Le chef des terroristes décide alors de les soumettre à un test pour savoir s'il mérite d'avoir la vie sauve. J'aurais aussi pu la faire avec des normaliens, mais on est pas assez... Very Happy

Les terroristes installent une grande salle remplie de boîtes numérotées de 1 à 500, toutes identiques. A l'intérieur de chaque boite se trouve un bout de papier avec un numéro de 1 à 500 écrit dessus. Chaque boite contient un numéro différent.
Puis, ils font rentrer les élèves un par un dans cette salle. Chaque élève a le droit d'ouvrir 250 boites seulement et doivent trouver leur numéro. Si un élève n'a toujours pas trouver son numéro à l'issue des 250 ouvertures de boites, tous les élèves meurent. Twisted Evil

Bien sûr, les élèves ont droit à se concerter avant pour mettre en place une stratégie. La salle est remise dans son état exact d'origine entre 2 passages d'élèves. Si les 500 élèves réussissent l'épreuve, ils sont tous libérés.

Quel est la stratégie donnant les meilleurs chances de survie?

Apeiron Mer 6 Mai - 19:32

Ils passent un par pour retirer leur numéro ?
A quel moment exactement peuvent-ils communiquer entre eux ?

Tu devrais préciser car sinon la solution est aisée à trouver :

Spoiler:

Derich Jeu 7 Mai - 1:51

Ils sont mis au courant de la procédure de l'épreuve, puis avant même que l'épreuve commence, ils doivent se concerter pour une stratégie. Ensuite, les élèves rentrent un par un dans la salle: le premier élève fait ses 250 ouvertures de boites (ou moins s'il trouve le 1 avant), puis l'élève 1 sort, la salle est remise dans son état initial et l'élève 2 rentre... Donc, il y a toujours au plus un élève dans la salle.

Ah oui, les élèves déjà passés n'ont pas de moyen de communiquer avec les élèves non passés.

Keira Jeu 7 Mai - 3:56

Ils disent à chacun de prendre le numéro qui est dans la boite de leur numéro. (Exemple: L'élève n°1 va chercher le numéro qui est dans la boite 1, l'élève n°2 dans la boite 2 etc...) et c'est en sortant de la salle qu'ils échangent les numéros.

De cette façon, tous les papiers seront trouvé et sortis des boites.

Elrohir Jeu 7 Mai - 10:59

Est-il possible de changer les papiers de boîte sans que les terroristes les remettent dans leur boîte d'origine ?

Apeiron Jeu 7 Mai - 11:08

Les terroristes referment même les boîtes vides ?

Heu... atta, les élèves prennent leur numéro en sortant ou pas ?

Derich Jeu 7 Mai - 15:00

@ Apeiron et Elrohir:
J'ai dit que la salle était remise dans sa configuration initiale entre chaque passage d'élèves. Donc, même si un élève trouve son numéro, il le remet dans la boite et sort. Donc, toutes les boites ouvertes sont refermées, toutes les boites déplacée sont remises à leur emplacement initial, tout les papiers sont remis là où ils étaient...

@ Keira: les élèves passent uns par uns. Il n'y a jamais 2 élèves à la fois dans la salle. Donc, il ne peut pas avoir d'échange de papier.

Apeiron Jeu 7 Mai - 15:36

Une dernière précision : un élève qui a trouvé son numéro avant la 250ème boîte peut-il ouvrir d'autres boîtes ?

Après tout, peu importe...
J'ai une première solution, qui est sinistre :

Spoiler:

Bon... il y a peut-être une meilleure solution.
J'ai trouvée celle-là en me demandant quelle information accessible pourrait aider les élèves. Comme pour l'instant je ne vois pas d'autre information utilisable, je déduis que cette solution pourrait être la meilleure, même si les chances de survie sont extrèmement basses.

Evidemment, tricher serait pas mal, mais c'est difficile vu les contraintes...
Derich, je suis dans le vrai ou y a-t-il un élément que j'ai négligé ?

Derich Jeu 7 Mai - 20:58

Il n'y a aucun élément que tu as négligé, ce n'est pas pour rien que j'ai mis cette énigme dans la section mathématiques.
Sinon, tu t'en doutes que ta solution n'est pas la meilleure.

Voilà un ordre de grandeur des chances de survie en utilisant une certaine stratégie, que je pense optimale.

Spoiler:

Elrohir Ven 8 Mai - 2:46

Le terrorisme mathématique ... Ca fait peur ... Un peu de mathématiques... - Page 4 106886

Et si on les laissait mourrir ? Twisted Evil

Apeiron Ven 8 Mai - 15:30

Et pourrais-tu être pertinent ?
Manifestement, Elrohir, tu sembles vouloir élever le flood au rang de discipline, mais malheureusement pour toi cette discipline n'est reconnue que dans un unique topic, et ce n'est pas celui-ci.

Derich, j'ai trouvé une arnaque !
En supposant que les terroristes n'attendent pas avant d'aller chercher un nouvel élève, j'ai une stratégie :

Spoiler:

[edit]

Bon, en utilisant le principe que je viens d'énoncer, il y a peut-être moyen de faire mieux... En effet, pouvoir transmettre des informations aux autres élèves à l'insu des terroristes est assez fort...

Variante de la dernière, plus efficace mathématiquement, mais qui se fait griller trop facilement en pratique (à moins que les terroristes soient beaux joueurs...) :

Spoiler:

Ici, il est à noter que c'est justement parce que les terroristes remettent tout en état que la méthode fonctionne... et qu'il s'agit d'un test d'aptitude et pas d'une course...

Derich Ven 8 Mai - 19:13

Ton astuce pourrait en effet marcher si les élèves connaissent la durée exacte de passage dans la salle. Il faudrait voir qu'es-ce que ça donne au niveau des probas... Mais, les élèves réussissent à communiquer avec ceux déjà passé en quelque sorte (le message se trouve dans le temps de passage).
Sinon, ta méthode ne donne-t-elle pas des temps de passage vraiment très long (pour 10 boites, ca pourrait être viable, mais pour 500 boites... ça doit se compter en millénaires au grand minimum...)

Bref, ça marche en théorie si les élèves disposent d'un moyen de mesurer le temps de passage. Cependant, ce n'est toujours pas la stratégie à laquelle je pensais.

Donc, pour complique les choses, on suppose que tous les élèves sont enfermés dans une salle sans fenêtre et que quand un élève est emmené pour passer l'épreuve, il est emprisonné dans une autre salle, sans avoir l'occasion de contacter ses camarades. Du coup, il n'y a aucun moyen de faire passer des informations sur la salle.

Bon, c'était bien tenté donc un autre indice:

Spoiler:

Apeiron Ven 8 Mai - 21:54

Ce n'est pas la solution à laquelle tu pensais, mais elle peut fonctionner.
Il ne s'agit pas d'une solution, mais d'une arnaque, l'idée étant de contourner l'absence d'information en provenance de la salle voulue par les terroristes par un moyen issu du processus mis en place par les terroristes eux-mêmes.
Ça se voit que je bouquine Liar Game en ce moment... Wink

Enfin, je veux bien chercher une autre idée.
Pour ton indice, ça m'était naturellement venu à l'esprit, mais j'ai privilégié l'exploitation des règles dans ma première approche. Je vais t'expliquer pourquoi :

Spoiler:

Petite question : un lycéen a-t-il les compétences techniques pour trouver la solution ?

Derich Sam 9 Mai - 2:07

Apeiron: Oui, c'est bien la solution à laquelle je pensais.

Spoiler:

Apeiron Sam 9 Mai - 11:58

Pour mon arnaque :

Spoiler:

Pour ta solution :

Spoiler:

Derich Sam 9 Mai - 12:18

Voilà la stratégie à laquelle je pensais:

Spoiler:

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