Un peu de mathématiques...

L'article est clair à ce sujet :

En 1980, George Spencer-Brown déposa une preuve du théorème des quatre couleurs à la Royal Society[3], mais qui n'a été ni acceptée ni invalidée aujourd'hui.

Et maintenant... le problème de la belle au bois dormant. ^^

Il était une fois, toujours dans le même pays aux lois si étranges, une princesse nommée Aurore.
C'était le dimanche, et épuisée après le tapin mené consciencieusement tout le week-end avec ses copines Cendrillon et Blanche-neige, elle décide d'aller se coucher.
Sauf qu'elle ignore que son pote Peter a l'intention de la faire jouer à un petit jeu (et aussi de rester dans sa chambre pendant quelle dort, mais l'histoire n'en dit pas plus à ce sujet bande de pervers) dont voici les règles :
Le premier soir il lance une pièce et regarde le résultat.
Si le résultat est pile, il la réveille tôt le lundi matin, lui explique les règles et pose sa question. Puis il lui souffle à la figure de la poudre de fée (à ne pas confondre avec la poussière de fée à l'effet planant garanti...), ce qui a pour effet de la rendormir et de lui faire oublier tout ce qu'il s'est passé depuis son réveil. Toujours dans ce cas, il la réveille le mardi matin, lui explique les règles et lui pose sa question.
Si le résultat est face, il se contente de réveiller Aurore aux aurores (mouhaha) le lundi matin, lui explique les règles et lui pose sa question.
La question que ce charmant bambin a en tête est celle-ci : « La pièce est-elle tombée sur pile ou sur face ? »... et voici la mienne : en supposant qu'elle réponde "pile", quelle est la probabilité qu'elle ait raison ?

Bah c'est pas 50% ?

Je n'ai pas dit que ce n'était pas 50%...
Pourrais-tu développer un peu pourquoi tu fais cette réponse ?

Tu n'as pas dit qu'elle ne pouvait pas voir la pièce. Si la pièce est visible de la princesse la probabilité est de 100% mais je ne vois pas l'intérêt. Supposons qu'elle ne voit pas la pièce.

Quand elle se réveille, elle n'a donc aucune information sur la pièce. Elle a donc une chance sur deux de deviner la bonne réponse non ? Je vois pas de problème donc je sais pas quoi expliquer là ...

Je vois pas de problème donc je sais pas quoi expliquer là ...

Tu n'expliques rien, là est le problème. Mais comme tu n'accordes pas de crédit au concept d'explication, cela est compréhensible...
D'abord tu dis "Bah c'est pas 50% ?" puis quand je te demande d'expliquer tu dis : "Elle a donc une chance sur deux de deviner la bonne réponse non ?"... tu admettras je l'espère qu'au niveau explication c'est faible.

Je te demande pourquoi tu es partisan de la solution 1/2-1/2.
Il me paraîtrait logique que c'est parce que la pièce a une chance sur deux de tomber du côté pile, mais j'aimerai au moins une confirmation de ta part à défaut d'une explication...

Je confirme ... Désolé je n'ai jamais su expliquer ce qui me semblait évident ...

Si c'est la bonne réponse je comprend encore moins le problème en fait ...

Je n'ai pas dit que c'était la bonne réponse.

Il y a aussi une autre façon d'aborder le problème.
En considérant qu'il y a deux entretiens dans le cas où la pièce est sur pile et un seul où la pièce est sur face, il est possible d'en déduire qu'à un entretien particulier il y a une chance sur trois d'être dans l'entretien correspondant au fait que la pièce soit tombé sur fac, et deux pour que la pièce soit tombée sur pile.
Cela amène à l'autre solution dite de 2/3-1/3.

Ah parce qu'il repose la question après ?

Après quoi ?
Si tu ne fais pas un minimum d'effort pour être compréhensible, tu ne seras pas compris.

Dans l'hypothèse où elle se rendort en oubliant tout et où il la réveille à nouveau : lui repose-t-il la question ?

Toujours dans ce cas, il la réveille le mardi matin, lui explique les règles et lui pose sa question.

Tu devrais relire l'énoncé avant de poser des questions...

Moi je dis 50 pourcent parce qu'il y a une chance sur 2 pour qu'il soit tombé sur pile le premier jour, et vu qu'elle oublie tout, il y a une chance sur deux que Peter la réveille une seconde fois le mardi.

Voici le lien Wikipédia correspondant au problème :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_la_belle_au_bois_dormant

Le problème de l belle au bois dormant est assez intéressant vu qu'il semble possible d'interpréter le problème de façon à tomber sur 1/2-1/2 ou 2/3-1/3.
Je vous laisse lire et reparlons-en après.

Ou pas.

Pour ceux qui l'ont demandé, voici la démonstration en logique classique qui permet de démontrer n'importe quoi à partir d'une théorie incohérente.

D'abord, posons un peu le contexte. Ceux que cela n'intéresse pas peuvent passer à la démonstration elle-même.

Pour une formule F, la négation de F appelée "non-F" est notée ¬F.
En logique classique, "A implique B" noté (A⇒B) est équivalent à (¬A∨B), c'est à dire que pour que (A⇒B) soit vraie dans une théorie, il suffit que A soit fausse ou que B soit vraie.
Pour écrire les formules, nous nous plaçons dans un langage L adapté.
Une formule s'obtient avec certaines règles d'écriture dans L, et une formule qui n'a pas de variable libre est appelée formule close.
Une théorie T de L est définie comme un ensemble de formules closes de L.

Nous nous donnons deux règles de déduction :
- Le modus ponens : Avec F et (F⇒G) nous pouvons déduire G.
- La généralisation : Si nous avons F[v] pour une variable v quelconque, alors nous pouvons déduire ∀v F[v], le symbole ∀signifiant "pour tout".
Nous définissons une tautologie comme une formule toujours vraie. Les axiomes contiennent les tautologies et les formules évidentes liées aux quantificateurs, et ne sont liés qu'au langage et à la notion de "vérité" utilisée. Ici c'est le booléen : vrai ou faux.

Soit T une théorie et F une formule de L.
Une démonstration (formelle) de F dans T est une suite finie de formules de L telle que la dernière formule de la suite est F et que toute formule de la suite vérifie au moins l’une des conditions suivantes :
- Elle est un axiome.
- Elle est dans T.
- Elle se déduit des formules précédentes par une des règles de déduction.
Nous notons T |- F la propriété « Il existe une démonstration formelle de F dans T. »

Ceci posé, nous pouvons passer à la démonstration :

Si T est incohérente, alors il existe une formule F telle que T |- F et T |- ¬F.
Soit une formule G quelconque.
(F⇒(¬F⇒G)) est une tautologie. En effet, si F est fausse alors (F⇒(¬F⇒G)) est vraie, et si F est vrai alors ¬F est fausse donc (¬F⇒G) est vraie et donc (F⇒(¬F⇒G)) est vraie. Dans tous les cas, (F⇒(¬F⇒G)) est vraie.
Comme (F⇒(¬F⇒G)) est une tautologie, nous avons T |- (F⇒(¬F⇒G)).
Comme T |- F, nous déduisons par modus ponens T |- (¬F⇒G), et comme T |- ¬F nous déduisons par modus ponens T |- G.
Donc T peut bien démontrer une formule G quelconque.

Plus de détails seront donnés dans mon projet.

Je reviens sur le calcul à la main des racines.

On m'avait montré l'algorithme il y a des années et je ne m'en souvenais plus très bien. Mais je viens de le retrouver sur le net, illustré par des exemples : http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/r_carree_anc.htm .

Mathématiquement votre.

Bon, vous connaissez les identités remarquables ?
Un petit rappel pour ceux qui auraient VRAIMENT tout oublié :
(a+b)² = a² +2ab +b²
(a-b)² = a² -2ab +b² (cas particulier de la première)
(a+b)(a-b) = a² -b².

Bon, je vais m'intéresser à la première : (a+b)² = a² +2ab +b².
Vous pourriez vous demander ce que donnerait (a+b)^n pour n'importe quel n, c'est à dire au délà de 2... et bien vous auriez une réponse ci-dessous !

Même si vous n'allez pas en voir l'intérêt tout de suite, j'aimerai vous parler du triangle de Pascal.
C'est un petit jeu rigolo, il s'agit de faire une pyramide avec plein de 1 :
..............1
...........1...1
.........1.......1
.......1...........1
............etc.

Et après de combler les trous en respectant la règle suivante : un nombre est la somme des deux nombres situés juste au dessus. Cela donne, pour les premiers termes :
..............1
...........1...1
.........1..2...1
.......1..3...3..1
............etc.


Et bien je vous l'annonce en mille : la n-ième ligne donne les coefficients de (a+b)^n, si on trie les termes par degrés.
Quand je dis "trier", j'organise la somme selon (par exemple) l'ordre décroissant des degrés de a.
Bon, je vous montre, vous allez comprendre :

(a+b)^0 =........................1
(a+b)^1 = ..................1a +1b
(a+b)^2 = ............1a² + 2ab + 1b²
(a+b)^3 = 1a^3 + 3a²b + 3ab² + 1b^3
... etc.

Voilà.

Ce matin j'ai trouvé une note sympa sur un blog BD québécois ... J'espère que ça vous plaira et que quelqu'un pourra m'expliquer comment ça marche ^^

C'est la multiplication dite "russe" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Technique_de_multiplication_dite_russe

Je comprend mieux avec les dessins ^^

C'est pour ça que la plupart des gens que je connais supportent moins les stats que les autres branches des maths. C'est très contre-intuitif.

Un joueur joue une partie avec un devin.

Deux boîtes A et B sont présentées au joueur. Ce dernier a le choix entre prendre le contenu de la boîte A et prendre le contenu des boîtes A et B. Au préalable, le devin a rempli les boîtes ainsi :

- la boîte B contient toujours 1 000 €;
- le contenu de la boîte A est déterminé ainsi : si le devin a prédit que le joueur prendrait seulement la boîte A, elle contient 1 000 000 €, mais elle ne contient rien si le devin a prédit que le joueur prendrait les deux boîtes.

Avant que le jeu ne commence, le joueur est mis au courant de toutes les règles du jeu. Au moment où le jeu commence et où le joueur est appelé à décider de ce qu'il va prendre, la prévision a déjà été faite, et le contenu de la boîte A est déterminé. Le joueur garde après le jeu le contenu des boîtes qu'il a ouvertes.

Si vous étiez ce joueur, quel serait votre choix ?

D'un point de vue personnel, me contentant de 1000 €, je prendrais plutôt la boîte B.

D'un point de vue mathématique, le devin gagne-t-il quoique ce soit à mettre ou ne pas mettre 1 000 000€ dans la boîte A? Dépendant de si ce dernier est biaisé, ça peut tourner au dilemme du prisonnier ou au fait de ne jamais rien mettre dans la boîte A.

Si ce dernier fait ses prédictions de manière totalement aléatoire (ou alors avec une répartition 50/50), alors faut définir la fonction objectif que le joueur souhaite maximiser?
* Si cette dernière est simplement égal à la quantité d'argent gagnée (fonction linéaire), la boîte A est la meilleure en espérance.
* Si le joueur veut gagner le plus d'argent, mais veut éviter à tout prix le 0€ (fonction linéaire avec un gros nombre négatif correspondant à "0€"), la boîte B peut devenir la meilleur en espérance.

Ma conclusion est que, dépendant de la personnalité du joueur ou du devin, le problème mathématique engendré est différent (mais se résous dans presque tous les cas ^^ ).

Ce dernier a le choix entre prendre le contenu de la boîte A et prendre le contenu des boîtes A et B.

Voilà qui rend ta réponse impossible.

Ensuite, que se passe-t-il si on suppose que le devin peut effectivement prédire le comportement du joueur, ou si ses prédiction sont vraies "presque toujours" ?