Un peu de mathématiques...

Déjà, je pense qu'il y ai trés peu de chance que le second prenne le même pistolet que le premier, quelque soit le résultat du premier.

Développement à venir, lorsque j'aurais le temps et la patience.

Alors, c'est assez rigolo puisque normalement le calcul montre que le second prend le même, et que la septième place est une des pires ^^

A vérifier, évidemment.

Et sinon, que pensez-vous de "notre ami PA" ?

Le premier a une probabilité de mourir de 1/6 on l'a déjà dit ...

Le second va prendre le second pistolet si le premier s'est tué (100% de chance de survie mais cet événement n'a qu'une probabilité de 1/6 puisque c'est celle qu'à le premier de mourir) mais aussi s'il est encore en vie car il a alors également 1/6 chance de mourir (contre 1/5 s'il prenait le même pistolet). Au total celui qui prend la seconde position a 5/36 chances de mourir, ce qui est déjà un peu moins...

Le troisième va prendre le second pistolet si le premier prisonnier s'est tué et le premier pistolet si le second prisonnier s'est tué (100% de chance de survie mais cet événement n'a qu'une probabilité de 11/36 puisqu'il faut que l'un des deux premiers soit mort). Si personne n'est encore mort, il n'a pas de raison de privilégier un pistolet en particulier puisqu'il a 2/5 chances de mourir avec chacun des deux. Au total il a 5/18 chances de mourir ce qui n'est pas bon du tout.

Est-ce que jusque là j'ai bon ? Pourquoi devrait-il prendre de même ?

Et c'est qui PA ?

Est-ce que jusque là j'ai bon ? Pourquoi devrait-il prendre de même ?

Heu, oui, je voulais dire dans le cas non trivial où tout le monde sait désormais quel est le pistolet tueur ^^

Bon, examinons ça :

Le premier n'a pas vraiment le choix, vu qu'il n'a pas d'info. Il prend un pistolet au hasard et tire.
S'il meure, tout le monde sait quel est le bon pistolet. Donc les six suivants vont utiliser le pistolet non tueur. Les prisonniers 2 à 7 seront donc sauvés, et les autres auront des chances de se faire tuer avec la dernière balle tueuse.

Ainsi, je suis d'accord avec toi pour ce cas.

Second cas : le premier n'est pas mort. Nous avons donc un pistolet à cinq balle qui n'a pas tué et un pistolet à six balles qui reste intouché. Réfléchissons...
La question est de savoir ce qu'apporte l'information offerte par le premier tir. La question pour le second prisonnier est donc d'évaluer quel est le bon pistolet. Soit T l'évènement "le pistolet utilisé est tueur". Soit S l'évènement "le premier prisonnier survit".

Faisons de la spéculation (oublions ce que nous avons et examinons le problème sous un certain angle).
Admettons que nous sachions que le pistolet utilisé est tueur. Dans ce cas, le premier prisonnier a utilisé une des 4 balles blanches sur les six balles, et donc il avait une probabilité de survivre de 2/3. p(S|T) = 2/3
Or, p(S|T) = p(S&T)/p(T), d'où p(S|T)*p(T) = p(S&T), où p(S&T) est la probabilité que le premier prisonnier survive et que le pistolet soit tueur.
D'ailleurs, en l'absence d'information (le cas du premier prisonnier), il n'y a pas moyen de déterminer quel est le pistolet tueur, car p(T) =1/2 = p(-T).
D'où p(S&T) = p(S|T)*p(T) = 2/3 * 1/2 = 1/3.

Je n'ai pas encore utilisé l'info offerte par le premier tir (maintenant nous utiliserons le fait que le premier prisonnier a survécu).
Nous ne cherchons en fait pas à calculer le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre (ce qui revient à déterminer le pourcentage de chance pour que le pistolet utilisé soit tueur), mais le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre EN SACHANT que le premier a survécu, soit p(T|S).
Nous avons p(T|S) = p(T&S)/p(S). Notons que p(T&S)=p(S&T) que nous avons déjà calculé, et calculons p(S).
p(S) est la probabilité que le premier prisonnier survive. C'est 1-p(-S) où l'évènement -S est l'évènement "le premier prisonnier meurt". Nous savons que p(-S)=1/6, comme tu l'as rappelé. D'où p(S) = 1- 1/6 = 5/6.
Donc p(T|S) = (1/3) / (5/6) = 2/5.

Conclusion, en sachant que le premier prisonnier a survécu, la probabilité que le pistolet utilisé soit le pistolet tueur est de 2/5 (en donc l'autre pistolet a une probabilité de 3/5 d'être le pistolet tueur).
Donc il vaut mieux dans ce cas que le second utilise le même pistolet que le premier (ce résultat, je l'avais intuité quand le problème m'a été posé ^^).

Je te laisse réfléchir ^^

(En substance, tu as négligé le fait que le premier tir avait des chances d'innocenter le pistolet utilisé, et tu as juste examiné le problème comme un nouveau problème comme si tu ne savais rien, donc tu as négligé l'info offerte par le premier tir, alors que moi j'avais intuité que c'était cette info qui structurait le meilleur choix à faire.)

Le premier tir ne pourra jamais innocenté le pistolet. Soit il le rend coupable (le premier tir est fatal), soit il laisse planer un doute. Il n'y aura pas d'innocents tant qu'il n'y aura pas un mort.

C'est nul les probas ... Ils étaient escrocs financiers tes prisonniers ? Comment tu veux qu'un petit dealer trouve ça ?

Keira, il s'agit d'innocenter... de façon probabiliste. En d'autres termes, il y a un doute, oui, mais comment l'évaluer ?

Et Elrohir, c'est accessible si tu comprends les formules de base que j'ai données et si tu réfléchis pas à pas sur ce que tu sais vraiment et ce que tu veux savoir ^^ Le petit dealer est trop pressé

Alors on est mal partis parce que j'ai toujours pas compris les formules de base ...

Sans rire ? Lesquelles ?
Cite ce que tu n'as pas compris dans les formules de base et je développerai.

Ya juste la première que je comprend à peu près en fait ... Non sérieusement les probas sont à la limite de mon intelligence (ou peut-être de mon intérêt) donc te casse pas la tête à m'expliquer : ça rentrera pas ...

Laisse-moi essayer.

Probabilité d'un évènement A pris dans un univers U : p(A) = card(A)/card(U), où card(E) est le cardinal de l'ensemble E, c'ets à dire son nombre d'éléments.

Exemple : A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré}
La probabilité de faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré est p(A) = 2/6 = 1/3.

Celle-là, ça va ?

La probabilité de A sachant B (où B est un évènement possible, c'est à dire de probabilité non nulle) est défini comme étant : p(A|B) = p(A et B) / p(B).

Exemple : A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré} et B={le chiffre qui va sortir est pair}
La probabilité de faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré sachant que le chiffre qui va sortir est pair est
p(A|B) = p(le nombre est 5 ou 6 et est pair) / p(le chiffre qui va sortir est pair)
= p(le 6 va sortir) / p(le 2, le 4 ou le 6 vont sortir)
= (1/6) / (3/6)
= 1/3

p(A|B) est la probabilité de A sachant B, sachant à dire la probabilité que l'évènement A arrive en sachant que l'évènement B est arrivé. Par exemple, quand je lance un dé à six faces, la probabilité de faire un six est de 1/6, alors que la probabilité de faire un six sachant que c'est un nombre pair qui va sortir est de 1/3.
Intuitivement, c'est correct, et la formule est là pour donner la réponse dans le cas général :
Soient A={le dé sort un 6} et B={le dé sort un nombre pair}.
P(A)=p{le dé sort un 6}=card{6}/card{1,2,3,4,5,6}=1/6
P(A|B)=p(A&B)/p(B),
où P(A&B)=P{le dé sort un 6 et un ce nombre est pair}=p{le dé sort un 6}=p(A)=1/6
et où p(B)=p{le dé sort un nombre pair}=card{2,4,6}/card{1,2,3,4,5,6}=3/6=1/2
Donc P(A|B)=p(A&B)/p(B)=(1/6)/(1/2)=2/6=1/3.

A et B sont dit indépendants si p(A et B) = p(A)*p(B).

Exemple, A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré} et B={le chiffre qui va sortir est pair}
p(A) = 1/3 et p(A|B) = 1/3, d'où p(A|B) = p(A).
p(A|B) = p(A et B) / p(B) d'où p(A et B) = p(A|B)*p(B).
Nous déduisons ici : p(A et B) = p(A)*p(B), donc A et B sont indépendants.
Donc faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré est indépendant du fait que le chiffre qui va sortir est pair.

Je savais que cette notion n'était pas essentielle pour résoudre le problème, mais elle est très liée aux autres et parfois quand elle est appliquée permet de simplifier certains calculs.
L'indépendance de deux éléments signifie que les deux évènements ne sont pas corrélés, ou dit autrement, savoir que l'un va arriver ne va pas affecter les probabilités pour que le second arrive.
Concrètement, si A et B sont indépendants, la probabilité que A arrive en sachant que B arrive est la probabilité de A, et vice-versa.
A ind B => p(A|B) = p(A) et p(B|A) = p(B)
Pour définir cette notion mathématiquement, il vaut mieux ne pas poser que A ind B signifie que p(A|B) = p(A) car A et B ne jouent pas un rôle symétriques, et poser que A ind B signifie que p(A|B) = p(A) et p(B|A) = p(B) est un peu lourd.
En fait, j'ai illustré dans mon exemple qu'en prenant comme définition A ind B signifie que p(A&B) = p(A)*p(B) permet de retrouver que p(A|B) = p(A) et p(B|A) = p(B), et c'est une bonne définition car A et B ont bien un rôle symétrique (important car l'indépendance est une relation symétrique) et que la définition est assez légère.
Il est assez évident que si je lance deux dés, le fait que l'un fasse un 6 est indépendant du fait que l'autre fasse un 2. Mais de façon plus générale il peut y avoir indépendance d'évènements plus subtils, comme dans mon exemple.

C'est mieux, là ?

J'ai compris les règles ... Ya du mieux ... Le problèmes maintenant c'est pour les appliquer au problème ... Je pense que j'ai du mal à me poser les bonnes questions en probas ... Comme j'ai toujours marché à l'instinct en mathématiques, je suis complètement paumé là ... Mon instinct me pousse vers les conclusions les plus mauvaises ... De plus je ne vois toujours pas comment proposer une solution simple qui ne nécéssite pas 15.000 lignes ...

Eh bien... tu as déjà un exemple d'application concernant le problème du prisonnier.

J'ai fait le calcul pour le second prisonnier, je te laisse faire le calcul pour le troisième.

Désolé de changer de sujet (je galère vraiment trop), je voulais juste savoir ce que vous pensez de cette vidéo et si notamment les calculs présentés sont vrais.

Impôts : explication.

J'aime bien la dernière phrase ...

Heu, ils ont l'air réalistes, mais il faudrait comparer au système actuel.
C'est un problème intéressant : est-il possible de créer un système d'impôt juste ?
Et oui, la dernière phrase est sympa, même si elle est un peu sèche et qu'elle ferme les éventuelles questions.

Pour les prisonniers, comme tu galères je vais donner la réponse.
Il est possible de faire un calcul similaire à celui que j'ai fait pour les prisonniers 3 à 5. Conclusion : les cinq premiers prisonniers utilisent le même pistolet si personne ne meure.
Corollaire : le sixième est certain de survivre.
En effet, si l'un des cinq premiers meure, alors les suivants (y compris le sixième) pourront utiliser l'autre pistolet. Si personne ne meure, les cinq premiers ont utilisé le même pistolet et il reste une balle. Comme les deux balles tueuses sont dans le même pistolet, la balle seule ne peut être tueuse. Donc le sixième utilise ce pistolet.
Dans tous les cas, le sixième prisonnier utilise le pistolet non tueur.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi, Apeiron. Ton argument n'est valable que si les 5 premiers ne changent pas de pistolet en cours de route même s'il n'y a pas de morts.

En effet, si par exemple les 4 premiers survivent en utilisant le même pistolet, le 5ème pourrait être tenté de choisir l'autre pistolet. En effet, si le premier pistolet était tueur, il aurait aucune chance de survie.

Je te laisse faire le calcul, mais normalement il donne que le quatrième a intérêt également à choisir le même pistolet.
Le raisonnement est similaire à ce que j'ai exposé pour le second prisonnier.

C'est justement cela qui est intéressant : le calcul montre que les cinq prisonniers prennent tous le même, c'est à dire que le fait que le pistolet n'ait encore tué personne est mathématiquement plus rassurant que le fait qu'il lui reste peu de balles. D'ailleurs, le fait qu'il reste peu de balles dans la pistolet n'est pas effrayant si ce n'est pas le pistolet tueur, donc ça se comprend. Je pense que ta réaction vient d'une réaction instinctive.

Si les 4 premiers ne meurent pas en prenant le même pistolet, je trouve les calculs suivants:

Le même pistolet: 50% de survie (soit c'est le pistolet tueur, soit ça ne l'est pas)
L'autre pistolet: 2/3 de chances (donc plus de 50%)

Perso, les calculs m'incitent plutôt à prendre l'autre pistolet...

Apeiron va te dire que tu as oublié de prendre en compte les coups précédents ... En gros un revolver qui n'a pas tué alors qu'il adéjà été utilisé a plus de chance d'être inoffenssif que l'autre qui n'a jamais servi ... Je comprend pas pourquoi mais bon ...

Mais je suis d'accord avec Keira pour dire que le sixième peut faire des calculs parfaits et être sûr de sa position, il reste possible qu'un de ses co-détenus ne soit pas aussi bon en probas (ce qui est très probable) et fasse les mêmes erreurs de calculs que moi et Keira ... La position du sixième n'est donc plus du tout aussi sûre.

Sauf que j'ai indiqué dans les règles du jeu qu'ils connaissaient les probas et que sous la pression ils devenaient suffisamment forts pour faire des choix mathématiquement corrects.
La question est posée dans un cadre strictement calculatoire. Ou alors tu peux considérer qu'ils ont tous une bonne intuition mathématique.

Le même pistolet: 50% de survie (soit c'est le pistolet tueur, soit ça ne l'est pas)
L'autre pistolet: 2/3 de chances (donc plus de 50%)

Ton raisonnement suppose que l'information n'a aucune valeur. D'ailleurs, il ne peut être correct car la probabilité qu'il meure plus la probabilité qu'il ne meure pas doit donner 1 (c'est à dire l'ensemble des possibilités pour cet univers).

Apeiron va te dire que tu as oublié de prendre en compte les coups précédents ... En gros un revolver qui n'a pas tué alors qu'il adéjà été utilisé a plus de chance d'être inoffenssif que l'autre qui n'a jamais servi ... Je comprend pas pourquoi mais bon ...

Voilà, c'est ça.
Si ça peut vous rassurer je fais vite fait le calcul, en espérant que cela vous aidera à y voir plus clair.

Que fait le cinquième ?
Si un prisonnier précédent est mort, il prend l'autre pistolet, et le sixième fait de même. Donc le sixième prend le pistolet tueur. Les calculs ne sont donc intéressants que si personne n'est mort (et que le doute plane toujours).
Soit T l'évènement "le pistolet qui a été utilisé par les prisonniers précédents est le pistolet tueur" et Sk l'évènement "le k-ième prisonnier survit".
Nous cherchons la probabilité que le pistolet utilisé par les précédents soit le pistolet tueur EN SACHANT que les quatre premiers ont survécu (et pas la probabilité que le pistolet utilisé par les précédents soit le pistolet tueur comme vous le sous-entendiez), soit p(T|S1&S2&S3&S4).
La formule de base indique : p(T|S1&S2&S3&S4) = p(T&S1&S2&S3&S4)/p(S1&S2&S3&S4)

Cherchons p(T&S1&S2&S3&S4) :
Si le pistolet utilisé par les précédents est le pistolet tueur, le premier avait une probabilité de 4/6 = 1/3 de survivre, d'où p(S1|T) = 1/3.
Si le pistolet utilisé par les précédents prisonniers est le pistolet tueur et que le premier prisonnier a survécu, le second avait une probabilité de 3/5 de survivre, d'où p(S2|T&S1) = 3/5.
Si le pistolet utilisé par les précédents prisonniers est le pistolet tueur et que les deux premiers prisonniers ont survécu, le troisième avait une probabilité de 2/4 = 1/2 de survivre, d'où p(S3|T&S1&S2) = 1/2.
Si le pistolet utilisé par les précédents prisonniers est le pistolet tueur et que les trois premiers prisonniers ont survécu, le quatrième avait une probabilité de 1/3 de survivre, d'où p(S4|T&S1&S2&S3) = 1/3.
Faisons maintenant un retour aux formules de base :
p(S1|T) = 1/3, d'où p(T&S1)/p(T) = 1/3.
p(S2|T&S1) = 3/5, d'où p(T&S1&S2)/p(T&S1) = 3/5.
p(S3|T&S1&S2) = 1/2, d'où p(T&S1&S2&S3)/p(T&S1&S2) = 1/2.
p(S4|T&S1&S2&S3) = 1/3, d'où p(T&S1&S2&S3&S4)/p(T&S1&S2&S3) = 1/3.
En passant les termes au dénominateur à droite, nous avons :
p(T&S1) = 1/3 * p(T)
p(T&S1&S2) = 3/5 * p(T&S1)
p(T&S1&S2&S3) = 1/2 * p(T&S1&S2)
p(T&S1&S2&S3&S4) = 1/3 * p(T&S1&S2&S3)
Ce qui permet d'obtenir l'expression suivante :
p(T&S1&S2&S3&S4) = 1/3 * 1/2 * 3/5 * 1/3 * p(T) = 1/30.

Pour obtenir p(T|S1&S2&S3&S4), il ne reste plus qu'à obtenir p(S1&S2&S3&S4) :
Nous avons déjà p(S1) = 10/12 = 5/6.
Pour les autres, le problème est qu'il faut utiliser les résultats précédents...

Je finirai ça plus tard, en attendant je vous laisse lire la première partie.

Cependant, je suis convaincue que le fait que le fait que les 4 premières personnes ne meurent pas n'innocente pas le pistolet qu'ils ont utilisé.

C'est peut être instinctif, mais c'est aussi un peu mathèmatiques, non? Sur le pistolet tueur, on a 4 chances sur 6 de survivre...

J'ai déjà dit pourquoi ton argument ne pouvait être vrai, et ce que tu racontes a un fondement mathématiques mais tu n'as pas l'air de discerner exactement lequel. Il ne s'agit pas de déterminer si le cinquième va prendre ou non le même pistolet. Il s'agit de déterminer si le cinquième va prendre ou non le même pistolet sachant que les premiers ont survécu en utilisant le même. Ne pas savoir faire cette différence rend difficile d'estimer la situation.

Ce que je veux dire, c'est que en sachant que les 4 premiers ont survécus, le 5ème peut penser que si le premier pistolet est bien le pistolet tueur, il mourra automatiquement s'il le prend.

Je ne suis pas d'accord quand tu dis qu'il faut forcément qu'on arrive à 100% en additionnant les pourcentages, car pour le premier pourcentage je me suis basée sur le pourcentage de survie en sachant que le pistolet pouvait être soit tueur soit innocent. S'il est innocent, 100% de survie. S'il est tueur, 0%. Cela fait une moyenne de 50% de chances de survie, non?

Pour le deuxième, c'est un pourcentage minimum. Si le deuxième pistolet est innocent, alors il aura 100% de chances de survie. Sinon, il n'aura que 4 chances sur 6 de survivre.

Statistiquement, prendre le 2ème pistolet en cas de survie des 4 premiers prisonniers semble présenté plus de chances de survie que le premier, non?

Enfin quelqu'un qui comprend ma douleur ! Copaiiiiiiiiin !!!