1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 ?

Bonjour à tous !

Pour ceux qui auraient été ébahis à l'annonce de la nouvelle que la somme des entiers non seulement a une valeur finie mais que c'est une fraction négative sortant de l'espace, je me suis dit qu'il était temps que vous ayez une explication.
Pas de trop grosses mathématiques ici, je vais juste manipuler des expressions afin de vous faire sentir comment ça marche.
En passant, cela vous rassurera peut-être (ou pas d'ailleurs ^^) de savoir que la physique a validé cette valeur de -1/12 en astronomie ou en physique quantique.

Mes amis, bienvenu dans le monde merveilleux des séries divergentes...

Rappel de l'épisode précédent

Pour ceux qui auraient complètement oublié ce qu'est une série divergente, sachez que c'est une série qui ne converge pas. Simple, non ? Bon, ok, un très bref rappel alors...

Une suite est une successions de termes indexés par des entiers. Par exemple :
- la suite des 1/n pour n>1 est 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
- la suite des 1/2^n pour tout n est 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Une série est la somme (infinie) des termes d'une suite. Par exemple :
- la série des 1/n pour n>1 est S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
- la série des 1/2^n pour tout n est S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

La somme partielle Sn d'une série au rang n est juste la somme des termes jusqu'à l'indice n, par exemple pour la série des 1/2^n :
- S0 = 1
- S1 = 1 + 1/2
- S2 = 1 + 1/2 + 1/4
- S3 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8
- etc.

Une série S converge si Sn tend vers une limite l quand n tend vers l'infini, et dans ce cas on dit que S = l, sinon on dit que la série est divergente. Par exemple :
- la série des 1/n diverge
- la série des 1/2^n converge vers 2

Donc les séries convergentes sont celles pour lesquelles on arrive facilement à donner une valeur, et les séries divergentes sont celles qui résistent encore et toujours à l'envahisseur.
Toujours ? Non, car certains ont voulu quand même donner des valeurs à ces créatures étranges...

Domestication des monstres

Pour y aller en douceur commençons par discuter de la série suivante :
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Ses sommes partielles sont :
- S0 = 1
- S1 = 1 - 1 = 0
- S2 = 1 - 1 + 1 = 1
- S3 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
etc.
Remarquez que Sn = 1 si n est pair, et que Sn = 0 si n est impair. Ainsi Sn alterne indéfiniment entre 1 et 0, donc ne tend pas vers une valeur. La série est divergente.

Pourtant on va essayer de trouver comment manipuler cette série pour lui donner une valeur qui ait du sens.
Une série est une somme de termes (x0 + x1 + x2 + x3 + ...). Par la suite nous allons autoriser trois opérations sur les séries :
- Détacher le premier terme : (x0 + x1 + x2 + x3 + ...) = x0 + (x1 + x2 + x3 + ...)
- Multiplier la série par un nombre : a*(x0 + x1 + x2 + x3 + ...) = (a*x0 + a*x1 + a*x2 + a*x3 + ...)
- Sommes deux séries : (x0 + x1 + x2 + x3 + ...) + (y0 + y1 + y2 + y3 + ...) = ((x0+y0) + (x1+y1) + (x2+y2) + (x3+y3) + ...)

Ainsi, pour notre série S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... on a :
1 - S
= 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...)
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
= S
d'où 1 = 2S, donc S = 1/2.

Les sommes partielles alternent entre 0 et 1, du coup dire que la série à l'infini vaut 1/2 n'est pas si choquant, même si ça implique d'accepter qu'une somme infinie d'entiers peut valoir une fraction.

Et maintenant les calculs !

Maintenant il faut "juste" trouver comment ingénieusement grouper les séries divergentes pour faire apparaître des valeurs, quitte à utiliser les séries précédentes.

Nous avons déjà réglé le cas de S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2

Intéressons-nous maintenons à S' = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
2S'
= S' + S'
= (1 - 2 + 3 - 4 + ...) + (1 - 2 + 3 - 4 + ...)
= 1 + (-2 + 3 - 4 + ...) + (1 - 2 + 3 - 4 + ...)
= 1 + ((-2+1) + (3-2) + (-4+3) + (5-4) + ...)
= 1 + (-1 + 1 - 1 + 1 + ...)
= 1 - 1 + 1 - 1 + ...
= S
= 1/2
Donc S' = 1/4

Et maintenant nous arrivons enfin à S" = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
S" - S'
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...)
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) + (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ...)
= (1-1) + (2+2) + (3-3) + (4+4) + (5-5) + (6+6) + ...
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
= 4*(1 + 2 + 3 + ...)
= 4S"
Donc -S' = 3S", d'où S" = -S'/3 = -1/12

Vous pouvez relire, il n'y a pas de manipulation frauduleuse comme pour les preuves de 0 = 1. Je sais, brainfuck, toussa. ^^

En tout cas j'espère que ça vous aura plu et que c'était assez accessible. N'hésitez pas si vous avez des questions.

Merci de l'explication, déjà, elle est claire ^^

Apeiron a écrit:
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
= 4*(1 + 2 + 3 + ...)

Ça ne pose pas problème de faire ce genre d'opérations ? Parce que du coup, on se retrouve avec une suite qui a deux fois moins de termes. J'ai jamais vu les suites divergentes, mais il me semble avoir lu que ça pouvait poser des soucis.

(Et si tu retrouves des références sur la validation de cette aberration de mathématiciens par la physique... ^^)

Ah, effectivement c'est une extraction de sous-suite mais ce n'est pas un mouvement explicitement autorisé. Il faudrait voir s'il existe une preuve acceptable ou si c'est définitivement une arnaque.

Affaire à suivre donc.