Vulgarisation

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Vulgarisation

Message  Apeiron le Jeu 26 Mar - 16:48

Un sujet pour que chacun puisse vulgariser auprès des membres du forum un sujet qui l'intéresse. Je propose qu'il y ait maximum un article par semaine de posté, de façon à pouvoir prendre le temps de discuter de chaque article.



Je commence par : La thèse de Church.

Elle est une thèse non pas parce que le jeune Church a commencé sa carrière de chercheur par elle, mais parce qu'elle est une affirmation non démontrable au sens strict du terme. Pourquoi ? Parce qu'elle établit une équivalence entre deux aspects différents : un aspect formel et un aspect intuitif.

Je rappelle le contexte : nous sommes au début du XXème siècle, les mathématiques ont été marquées par les conséquences du Programme de Hilbert ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_de_Hilbert ) et l'informatique se développe suite à l'expérience acquise en logique. Les 23 problèmes de Hilbert ont été formulés en 1900 et sont en fait les problèmes mathématiques irrésolus du XIXème. La conférence de Hilbert avait pour but d'apporter des réponses à ces problèmes et de résoudre la crise des fondements des mathématiques. Depuis, Gödel a montré que les fondements ne seraient jamais parfaitement stables (théorème d'incomplétude) et la théorie des ensembles (Cantor, Russel, Zermelo, Fraenkel, etc.) qui s'est développée depuis fournit malgré tout un bon cadre pour les mathématiques. Les progrès faits en logique ont permis de développer des questions anciennes sur la calculabilité, c'est à dire ce qu'il est possible de faire avec un papier et un crayon, ou ce qu'il est possible de faire faire par un système mécanique.

Différents mathématiciens (ou logicien ou informaticien) travaillèrent en parallèle sur la notion de fonctions mécaniquement calculables, qui correspondent à des problèmes pouvant être résolus par des machines (ou des humains un peu bêtas avec beaucoup de papier et assez de crayons), ce qui correspond en fait à la notion intuitive d'algorithme calculable.
Dans les années trente, Church et Kleene introduisent un langage (le lambda-calcul) et la notion de fonctions lambda-définissables, pendant que Gödel et Herbrand introduisent la théorie des fonctions récursives et que Turing décrit ses machines, surnommées "machines de Turing" par la suite.
Ces trois formalismes (et d'autres de la même époque, comme les machines de Post et les machines à compteurs, ou même les travaux de Matiyasevich qui répond négativement au dixième problème de Hilbert) correspondent à la même notion intuitive de calculabilité, mais sont apparemment différents.

La thèse de Church est en fait l'énoncé que toutes les façons utilisées pour formaliser la notion d'algorithme effectivement calculable correspondent en fait au même ensemble de fonctions, c'est à dire que les différentes définitions (fonctions lambda-définissables, fonctions récursives, machines de Turing) de ce qu'est une fonction calculable sont en fait équivalentes, ce qui justifie a posteriori par la logique la notion intuitive de calculabilité.
D'ailleurs, en définissant la calculabilité, la thèse permet aussi de se rendre compte que certaines fonctions ne sont pas calculables, comme le problème de l'arrêt (un programme qui dit si un programme finira par s'arrêter est-il un programme calculable ?) ou d'autres (pour le plaisir, voici le problème du castor affairé : http://fr.wikipedia.org/wiki/Castor_affair%C3%A9 ).

Quel est l'intérêt d'une telle thèse ?
Elle fonde l'informatique moderne, puisque c'est elle qui garantit l'équivalence des différents points de vue utilisés pour étudier les algorithmes calculables. De plus, elle établit un lien logique profond entre les programmes pouvant tourner sur un ordinateur et les algorithmes mathématiques. Ainsi, il est possible de dire qu'un programme informatique est un théorème mathématique et vice-versa. D'ailleurs, un programme informatique appelé "Coq" ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Coq_(logiciel) ) a été créé comme assistant de preuves formelles (note : il est cohérent avec lui-même puisque Coq a été testé dans Coq...), et il a notamment permis une démonstration complètement mécanisée du théorème des quatre couleurs (qui dit en gros qu'il n'y a besoin que de quatres couleurs pour colorier des états sur une carte sans que deux états de même couleur aient une frontière en commun).
J'avais lu un article il y a quelques temps sur une étude du rapport entre le lambda-calcul (dénominateur commun au langage mathématique et au langage informatique) et le cerveau. Par exemple, il pourrait y avoir un rapport étroit entre le théorème d'incomplétude de Gödel, la défragmentation de données, et le rêve. Affaire à suivre, donc.



Voilà, j'ai privilégié la concision et donc il est possible que la première lecture soit délicate pour ceux qui ne sont pas habitués aux termes techniques. Aussi, si vous avez des questions, n'hésitez surtout pas à les poser. Smile
Et pour les autres, n'hésitez pas à commenter et à donner votre avis. ^^
De plus, si vous avez des idées d'articles, n'hésitez pas à faire des propositions. Wink
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Jeu 26 Mar - 19:21

Tu devrais reformuler le début du passage ou tu défini la thèse de Church, je le trouve bizarrement formulé et il m'a fallut le lire trois fois pour que je comprenne.

Sinon les applications ne sont pas évidentes à saisir mais j'aime bien ton article. J'aime bien aussi l'idée de vulgarisation et je vais commencer à potasser sur un article Smile .

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Jeu 26 Mar - 21:34

Tu devrais reformuler le début du passage ou tu défini la thèse de Church, je le trouve bizarrement formulé et il m'a fallut le lire trois fois pour que je comprenne.
Ah ?
Je viens de m'apercevoir qu'enlever le premier en fait serait pas mal ^^ Et j'admets que la phrase est un peu longue... en fait il s'agit d'une expression proche des mathématiques, alors l'enchainement des symboles mentaux prend moins de place ^^

Je reformule :

La thèse de Church est en fait l'énoncé que toutes les façons utilisées pour formaliser la notion d'algorithme effectivement calculable correspondent en fait au même ensemble de fonctions, c'est à dire que les différentes définitions (fonctions lambda-définissables, fonctions récursives, machines de Turing) de ce qu'est une fonction calculable sont en fait équivalentes, ce qui justifie a posteriori par la logique la notion intuitive de calculabilité.

... devient :

La thèse de Church peut se résumer ainsi : toutes les façons utilisées jusque là pour formaliser cette notion intuitive d' "algorithme effectivement calculable" décrivent en fait le même ensemble de fonctions. Dit autrement, les différentes définitions (fonctions lambda-définissables, fonctions récursives, machines de Turing) de ce qu'est une fonction calculable sont en fait équivalentes. Le fait que les différents formalismes décrivant cette idée intuitive sont en fait équivalents justifie que l'intuition du concept de calculabilité correspond bien à une notion qui a une certaine substance logique.

Écrire cet article était une façon pour moi d'introduire dans le forum des éléments fondamentaux de la science actuelle, ainsi que certains de leurs effets.
J'ai hâte de lire ton article ^^
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mar 31 Mar - 20:58

Aussi taudit, aussi taufait. Very Happy

Je vous propose aujourd'hui un article sur la transcription de l'ADN chez les eucaryotes.

Les eucaryotes sont des cellules pourvu d'organite cellulaire comme le noyau et les mitochondries, on les oppose généralement aux procaryotes qui n'ont pas d'organite.
La transcription est le phénomène qui permet de transférer l'information des gènes sur un brin d'ARN. l'ARN quittera ensuite le noyau de la cellule pour migrer dans le cytoplasme (la partie liquide de la cellule qui contient les organites) où il sera traduit en une protéine.

Jusqu'à réçament, les chercheurs pensaient qu'un gène codait uniquement la synthèse d'une seul protéine. Il c'est avéré qu'un gène pouvait coder en réalité plusieurs protéines.
Afin de vous expliquer cela, je vais détailler les étapes de la transcription.

La transcription commence au début d'un gène, sur une région dite "non-codante" car elle n'apparaitra pas dans l'ARN. Une enzyme appelé "ARN polymérase" se fixe sur une séquence particulière de l'ADN que l'on nomme "promoteur". Assisté par d'autres protéines elle va avancer le long du gène jusqu'à rencontrer un séquence particulière qui initie la transcription. Pour chaque base que l'ARN polymérase "lit" (l'ADN est constitué de 4 bases azoté : A,T,G,C qui forment un alphabet) elle associe une base correspondante qu'elle va attacher à base suivante selon une structure particulière qui va donner l'ARN.

La transcription s'arrête lorsque l'ARN polymérase rencontre une séquence appelé "codon stop". Elle se détache alors de l'ARN et libère la molécule d'ARN qu'elle viens de synthétiser. Les biologistes pensaient alors que l'ARN passait directement dans le cytoplasme et était traduit en protéines, de sorte qu'une gène ne codait qu'un seul ARN.

Il c'est avéré que tel n'était pas le cas. L'action de l'ARN polymérase ne donne bien qu'un seul type d'ARN (sauf en cas de défaut dans la traduction) appelé "ARN pré-messager". Seulement cet ARN pré-messager contient deux types de régions : les introns et les exons. Au cours d'un phénomène que l'on nomme "l'épissage" les introns sont éliminés de l'ARN pré-messager et les exons sont recollé pour former l'ARN messager dit "mature". Or au moment où les exons se recollent, il leur arrive de ne plus se trouver dans le même ordre que dans l'ARN pré-messager.

exemple :
I = intron
E= exon

ARN pré-messager :
E1-I1-E2-I2-E3


ARN messager possibles :
E1-E2-E3
E1-E3-E2
E2-E1-E3
E2-E3-E2
E3-E1-E2
E3-E2-E1


Ainsi un seul ARN pré-messager peut conduire à la formation de différents ARN messagers et donc à la synthèse de plusieurs protéines, le tout à partir d'un gène unique.

Ce phénomène révèle toute son importance dans le génie génétique, pour les thérapies génique notamment, mais aussi en biochimie pour l'étude des différentes protéines ainsi qu'en pharmacologie pour tout ce qui touche les médicaments ayant pour but de modifier la vitesse de transcription de certains gènes.

Si vous avez des questions n'hésitez pas Very Happy

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Mar 31 Mar - 23:45

Très intéressant. Ainsi, la langue de la vie serait en fait compactée ^^

Pour un ARN pré-messager composé de n blocs d'exons (séparés par n-1 introns), il y aurait n! possibilités de construction d'ARNs messagers (puisqu'il y a n choix pour le premier bloc, n-1 pour le second, etc.). Vu comme ça l'ADN serait redondant puisqu'il peut coder les blocs dans le désordre...
Question : une protéine peut-elle être codée par plusieurs ARNs messagers ?

Et pendant que j'y pense, y a-t-il une différence de probabilité pour la création d'un ARN messager à partir d'un ARN pré-messager ? Dans la mesure où les blocs ont quand même un ordre quand ils sont sous forme d'ARN pré-messager et que le processus de réorganisation peut ne pas être complètement aléatoire certains ARNs messagers pourraient apparaître plus fréquemment que d'autres, et se traduire par des pourcentages spécifiques d'apparition de protéines pour aboutir à un équilibre déterminé dans le corps, non ?

De plus, c'est intéressant en soi, mais cela montre que le programme scolaire ne fait que coller à une certaine actualité et donc peut être révisé ^^
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mer 1 Avr - 9:32

Question : une protéine peut-elle être codée par plusieurs ARNs messagers ?

Normalement oui car les protéines sont des enchainement d'acides aminés et certains acides aminés sont codés par différentes séquences d'ADN.

Donc il est possible qu'un gène soit dupliqué ailleurs dans le génome et qu'une des copies du gène subisse un mutation dite "muette" car l'ARN messagers est différent mais il va coder la même protéine.


Et pendant que j'y pense, y a-t-il une différence de probabilité pour la création d'un ARN messager à partir d'un ARN pré-messager ?

Certainement, je pense que les cellules disposent de leur propre système de régulation pour favoriser tel ou tel protéine, et il doit aussi y avoir une favorisation des combinaisons ne déformant pas trop l'ordre car c'est plus simple à réaliser. Mais je connais trop mal cette partie là du mécanisme pour pouvoir te répondre en détail.

De plus, c'est intéressant en soi, mais cela montre que le programme scolaire ne fait que coller à une certaine actualité et donc peut être révisé ^^

En biologie au moins, le programme scolaire est relativement vide Very Happy .

Sinon, il n'y a que moi et Apeiron à nous intéresser à ce sujet? Neutral

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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Mer 1 Avr - 12:07

Non non ... Vos deux articles sont très intéressants, merci de les mettre à portée des jeunes béotiens que nous sommes ^^

Est-ce que tous les ARN messagers matures codent pour une protéine où y en a-t-il qui ne soient pas viables ?

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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mer 1 Avr - 12:20

Les ARN messagers matures sont tous viables, il y a des processus de contrôle lors de la maturation de l'ARN pré-messager qui le vérifie. Il y a bien la possibilité d'avoir une mutation sur une des trois premières bases de l'ARN après sa maturation mais ç doit être rarissime compte tenu qu'il s'agit d'une mutation très spécifique et que l'ARN a une courte durée de vie.

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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Mer 1 Avr - 12:25

Mais pourquoi ne s'en est-on pas aperçu avant ? Ne voyait-on pas qu'il y avait plein de protéines d'origine inexpliquée ?

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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mer 1 Avr - 12:48

Parce qu'il y a plein de protéines dont on ne connait pas le gène codant. Le génome humain a été séquencé mais il n'a pas encore été cartographié. C'est d'ailleurs ce séquençage qui a mit la puce à l'oreille des chercheurs : ils s'attendaient à trouver environs 10 000 gènes mais n'en ont trouvé que 30 000 environs.

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Mer 1 Avr - 21:31

En biologie au moins, le programme scolaire est relativement vide
En maths aussi...
Je vois deux hypothèses : ou bien nous sommes déformés par l'enseignement ultérieur que nous avons reçu et cela fausse notre perception, ou bien le programme du lycée est VRAIMENT vide.

Vos deux articles sont très intéressants, merci de les mettre à portée des jeunes béotiens que nous sommes ^^
Je t'en prie, jeune pain d'avoine. ^^

ils s'attendaient à trouver environs 10 000 gènes mais n'en ont trouvé que 30 000 environs.
N'aurais-tu pas oublié un zéro ?
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mer 1 Avr - 21:40

Je vois deux hypothèses : ou bien nous sommes déformés par l'enseignement ultérieur que nous avons reçu et cela fausse notre perception, ou bien le programme du lycée est VRAIMENT vide.

En math je ne sais pas mais en biologie j'ai cette impression depuis le lycée, même si elle c'est renforcé cette année. Les profs avec lesquels j'ai discuter semble penser que, au moins en science, le programme du lycée se vide inexorablement.

N'aurais-tu pas oublié un zéro ?
En effet, c'est 100 000 et 30 000

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Mer 8 Avr - 14:54

Très intéressant. ^^

D'autres sont-ils motivés pour écrire un article ?
Un article de droit, pour changer ? (par exemple ^^)
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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Mer 8 Avr - 23:58

Je prépare quelque chose mais j'ai besoin d'un peu de temps ...

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Jeu 9 Avr - 13:11

Fort bien. ^^
Sur quoi ?
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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Ven 10 Avr - 23:31

Responsabilité civile délictuelle je pense. ^^

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Sam 11 Avr - 10:58

Oh... fascinant. ^^
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mar 2 Juin - 18:28

Bon puisque les articles de droit n'apparaissent toujours pas et que je n'ai pas encore mis au point mon future article sur les OGMs, voici une courte vulgarisation sur les réflexes pour vous faire patienter.

Tout d'abord il faut distinguer les réflexes au sens médicale du terme, des réflexes au sens commun. Ce dernier ayant encore une fois une définition différentes. D'ailleurs je ne suis pas sûr qu'il soit possible de parler de définition stricto sensus puisque les réflexes au sens commun sont, il me semble, l'ensemble des actions rapides ayant nécessité un court temps de réflexion.
Et il y aura surement quelqu'un pour être en désaccord avec cette définition, d'où son imprécision.

Le réflexe au sens médical du terme est un signal nerveux qui ne passe pas par le cerveau. Ce sont les reliquats des nos ancêtres qui font qu'un signal sensitif (porteur d'une information) va entrer dans la moelle épinière, qui va renvoyer un signal moteur (porteur d'un ordre) sans qu'aucun signaux n'ai atteint ou n'ai été émis par le cerveau. C'est le cas notamment quand votre médecin vous tape sur les articulations avec son marteau en plastique.

Les autres actions appelés réflexes dans le sens commun (comme attraper un verre qui tombe ou freiner pour ne pas écraser un animal) son des actions conscientes qui ont été mémorisés par l'individu. D'une manière plus ou moins directe elles dépendent de la personne, ce qui n'est pas le cas des réflexes "médicaux".

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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Mer 3 Juin - 1:51

As-tu entendu parler des réflexes du nourrisson ? Peux-tu nous en parler ? Dans la négative je peux en parler un peu mais je suis loin d'avoir assez de bases scientifiques ...

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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mer 3 Juin - 19:14

Les réflexes du nourrisson? Ça ne me dit rien mais je tacherai de me renseigner si vous voulez.

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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Mar 23 Juin - 15:01

En attendant Elrohir, tu nous avais fait miroité un article de droit, je suis encore sur ma faim!

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Re: Vulgarisation

Message  Elrohir le Mar 23 Juin - 20:27

Hélas je sens que je vais devoir encore delayer (hou le méchant anglicisme!) reporter ...

Mais je vous ai fait part d'une réflexion sur les droits fondamentaux qui contient des éléments de vulgarisation ! C'est bien aussi !

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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Mer 5 Aoû - 21:42

Insuffisant. Vous pourriez enrichir ce forum avec du droit, puisqu'à priori vous aimez ça. ^^

Je vais maintenant parler des quaternions.
Bonne lecture. Smile

Les Quaternions

Avant de faire des présentations convenables, je vais d'abord vous parler des cousins proches plus connus : les réels et les complexes.

Les réels sont des nombres correspondants à toutes les longueurs algébriques mesurables, comme 0, 1, -1, 1/3, pi, etc. Les réels sont assimilés à une droite appelée "droite des réelles" : à chaque point de la droite des réels est associé un réel appelé "coordonnée du point". Ainsi, un point M de la droite est associé à sa coordonnée x, qui est un nombre réel. En notant A le point de la droite associé à 1 et O le point associé à 0 (l'origine), nous avons vectoriellement que OM = x OA.
Nous notons R l'ensemble des réels.

De même que pour la droite des réels il est possible de construire le plan complexe. Considérons cette fois un plan que nous munissons d'un repère. Il nous suffit donc de déterminer l'origine, appelée O, et deux vecteur (appelés e1 et e2) de directions différentes pour déterminer les coordonnées des autres points. Nous fixons ici que le repère est orthonormal, ce qui est une façon condensée de dire que les deux directions choisies sont perpendiculaires et que les vecteurs sont de longueur 1.
Ainsi, chaque point est repéré par deux coordonnées (comme à la bataille navale), qui correspondent en fait aux deux composantes du vecteur associé au point choisi selon les deux vecteurs choisis pour la base. A mes souhaits. Smile Bref, si le point M a pour coordonnées (x,y), alors vectoriellement OM = x e1 + y e2.
Ce serait tout si je me contentais de parler d'un espace réel de dimension 2, noté R². Mais je dois vous parler d'une bizarrerie avant de continuer et de parler des complexes proprement dits.

Je vais vous parler de i. i, c'est le nombre charmant dont le carré fait -1.
Tout a commencé lorsqu'il a fallu donner sens (et surtout résoudre ^^) des équations qui ne devraient pas avoir de solution, comme x² = -4. En posant que i² = -1, il est possible d'écrire que x² = -4 = (-1)*4 = (i²)*2² = (2i)². D'où x = 2i ou -2i. En somme, il suffit de donner l'existence de i pour avoir toutes les "racines de nombre négatif", comme nous venons de le voir avec -4. Mais une équation de ce genre n'a pas de solution dans les nombres réels. Par contre elle en a bien dans un nouvel ensemble où existe i. Cet ensemble est appelé l'ensemble des complexes et est noté C.
Qui est C ? C'est un ensemble qui contient des réels, mais aussi les multiples de i (appelés les imaginaires purs) et des nombres un peu bâtards qui s'écrivent comme somme d'un réel et d'un imaginaire pur. De façon générale, un complexe z s'écrit sous la forme z = x + yi, où x et y sont des réels.

Si j'ai commencé à vous parler de R², c'est parce qu'il est similaire à C. Nous pouvons dire que e1 = (1,0) est le vecteur associé au nombre 1 et e2 = (0,1) le vecteur associé au nombre i. Du coup, pour chaque complexe z, nous pouvons l'associer à un point M de coordonnées (x,y) et nous avons que OM = x e1 + y e2, et que z = x + iy.

Un petit croquis pour résumer le (long ^^) discours :



Voilà. C'était une petite (re?)mise en mémoire rapide et sans prétention, afin de fixer les idées.
Passons maintenant au vif du sujet : les quaternions.

Les quaternions sont aux complexes ce que les complexes sont aux réels. Il est possible aussi de dire que les quaternions sont l'extension suivante des réels, après les complexes.
De même que C est similaire à R², l'ensemble des quaternions (noté H, parce que Q est déjà prise comme lettre ailleurs ^^) est similaire à R^4, c'est à dire un espace à quatre dimensions où les coordonnées sont des réels. Pour les complexes, 1 avait le rôle d'une direction et i de l'autre direction. Ici il y aura 1 et i, mais aussi deux autres nombres appelés j et k.
De même que i avait été introduit par l'équation i² = -1, les nombres j et k sont introduits par des équations. Voici donc les équations du monde des quaternions :

i² = j² = k² = ijk = − 1

Pour la petite histoire, ces équations ont été trouvées par Hamilton en 1843 alors qu'il marchait le long du canal royal avec son épouse, et suite à son illumination aurait gravé cette formule sur le pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge) à Dublin.

De même que dans C, où un nombre était sous la forme a + bi, ici les nombres seront sous la forme a + bi + cj + dk. La somme se fait composante par composante, et le produit est un peu plus compliqué (comme le produit dans les complexes d'ailleurs).

Il faut bien remarquer que contrairement aux réels ou aux complexes, le produit des quaternions n'est pas commutatif, c'est à dire que ab n'est pas forcément égal à ba. Par exemple ij = k mais ji = -k.
Si nous regardons les quaternions comme des rotations dans l'espace, cela se comprend assez bien. Prenons un cube. faire un quart de tour de la droite vers la gauche puis de haut en bas ne donne pas le même résultat que de faire un quart de tour de haut en bas puis de la droite vers la gauche. Donc l'ordre des actions est important.

A quoi ça sert ?
C'est la question très souvent posée aux mathématiciens, qui parfois d'ailleurs ne savent pas y répondre. Ce serait comme demander à un architecte pourquoi il faut vivre sous un toit et pas dans les arbres. Mais c'est néanmoins une question importante, aussi vais-je apporter un début de réponse.
Pour certaines opérations, il est plus rapide, moins coûteux en mémoire et plus stable de faire les calculs avec des quaternions qu'avec d'autres moyens (comme les matrices). C'est le cas par exemple pour la navigation sur la navette spatiale. Voici également un bon article expliquant l'utilité des quaternions dans l'infographie : http://www.onversity.com/cgi-bin/progarti/art_aff.cgi?Eudo=WTpgjZWVn&P=a2305 .

Ces articles étant nécessairement courts, je vais m'arrêter bientôt, bien que le sujet puisse être davantage développé. Je vais conclure sur des considérations générales.
Les réels sont une structure intéressante : les opérations sont associatives (c'est à dire que a(bc) = (ab)c ), commutatives et ont une relation d'ordre (il est possible de ranger les réels selon un bon ordre, par exemple le long de la droite des réels), notamment.
Il est possible d'étendre une structure de façon à conserver les structures. Il n'existe que quatre extensions des réels. La première sont les réels eux-mêmes, qui correspond à un espace de dimension 1. La seconde correspond aux nombres complexes (espace de dimension 2), mais il y a perte de la relation d'ordre (plus moyen de trier sur un plan...). La troisième correspond aux quaternions (espace de dimension 4), mais il y a perte de la commutativité (en plus de la perte de relation d'ordre). La quatrième correspond aux octonions (espace de dimension 8, sur le même principe de construction que les quaternions mais avec 8 coordonnées), mais cette fois c'est l'associativité qui est perdue, en plus du reste.
Bref, il est possible de doubler la dimension à chaque fois, mais avec une perte de structure.

Pour ceux qui sont relativement familiers avec les matrices, je peux leur dire qu'il est possible d'écrire les quaternions sous forme matricielle : http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Notations_matricielles (notamment en associant 1, i, j, k à quatre matrices de base, mais cela enlève un peu de son intérêt aux quaternions eux-mêmes, même si cela les met dans un cadre plus général).
Pour ceux qui voudraient en savoir vraiment plus, voici un site assez complet avec de jolies images : http://www.alcys.com/ Smile

J'espère que cet article aura été accessible à des non-mathématiciens, et qu'il vous aura plu. Very Happy
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Re: Vulgarisation

Message  Apeiron le Sam 19 Sep - 14:24

Je vais présenter un court article traitant de la réflexion mathématique au sujet des systèmes de vote, ce qui me changera un peu d'Edad. ^^

Dans la suite je donnerai comme exemple des noms de politiciens français inspirés de la dernière élection présidentielle. Je précise que je le fais dans un but humoristique, sans vouloir choquer la sensibilité politique de mes lecteurs, et que cet article est bien un article de vulgarisation et pas un exposé de mes opinions politiques.

Pour plus de lisibilité je mettrai mes exemples en italique.
De plus, je précise que dans la suite, les électeurs sont supposés avoir un comportement un minimum raisonnable, dans la mesure où ils ne vont pas faire des choix à la légère sur un vote important.


Le Paradoxe de Condorcet

Le marquis Nicolas de Condorcet fut un mathématicien et philosophe du XVIIIème siècle qui étudia (entre autres) la représentativité des systèmes de votes à l'aide des mathématiques (il publia notamment Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Essai sur la constitution et les fonctions des assemblées provinciales et Sur les élections). Il découvrit notamment que dans certains systèmes de vote à la majorité, le candidat élu ne correspondait pas forcément à la volonté de la population si celui-ci avait obtenu moins de la moitié des voix. Je vais illustrer ceci avec un exemple.

Nicolas, Ségolène et François sont candidats aux présidentielles. Ceux qui votent pour Ségolène ou François ne veulent pas que Nicolas soit élu. Nicolas récolte 40% des voix, Ségolène 35% et François 25%. Nicolas est donc élu car il a le plus de voix. Néanmoins, 60% de la population ne voulait pas le voir élu, donc le système a désigné un candidat qui ne correspond pas à la volonté de la population.

Condorcet propose alors une méthode élective (appelée Méthode Condorcet) qui permette d'élire le bon candidat au sens de Condorcet (appelé candidat de Condorcet), s'il existe. Néanmoins, c'est une méthode dont le dépouillement est extrêmement long, ce qui la rend inapplicable pour un dépouillement à la main. Condorcet entretint une correspondance avec Borda qui proposait lui une autre méthode, moins "démocratique", mais plus réalisable en pratique avec les moyens de l'époque.
Il est à noter que la longueur du temps de dépouillement n'est plus un problème de nos jours si nous acceptons le dépouillement électronique, ce qui suppose néanmoins la sureté du processus et que le votant puisse contrôler que le programme fasse bien ce qui est attendu (donc un code source en licence libre, par exemple). Ceci est un autre débat, mais par la suite je n'évoquerai plus la complexité en temps du dépouillement des différentes méthodes proposées.

Le principal défaut de la méthode Condorcet est qu'elle ne fournit pas toujours un résultat, car le candidat de Condorcet n'existe parfois pas. Ceci est dû à l'intransitivité des préférences (c'est à dire que si nous faisions des matchs deux à deux entre plusieurs candidats, il est possible que A batte B, B batte C mais que C batte A). L'absence éventuelle de candidat de Condorcet et des exemples étranges (comme celui que j'ai présenté) l'ont poussé à formuler son paradoxe selon lequel il n'existerait pas de fonction de choix correcte permettant de déterminer un choix social à partir de préférences individuelles. Il ne s'agit pas vraiment d'un paradoxe, mais plutôt d'une situation épineuse dans le domaine de la théorie de la décision.
Le théorème d'impossibilité d'Arrow est la preuve mathématique de ce paradoxe.
Avant de l'énoncer il me faut introduire quelques termes techniques qui formalisent les critères considérés comme exigibles (démocratiquement parlant) dans un vote :

1. Universalité : la fonction de choix social doit être définie pour tout profil de préférences logiquement possible. Cela signifie qu'on ne peut éliminer le choix de certains individus du groupe des individus qui déterminent le choix collectif.
2. Non-dictature : il n'existe aucun individu pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec la fonction de choix social, indépendamment des préférences des autres.
3. Unanimité : lorsque tous les individus ont les mêmes préférences, la fonction de choix social doit associer ces mêmes préférences à la société.
4. Indifférence aux options non pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d'options tierces ; si l'on ne considère qu'un sous-ensemble d'options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.

Dans une autre version du théorème, l'unanimité peut être remplacée par les deux hypothèses suivantes :

1. Monotonie : un individu ne doit pas pouvoir faire diminuer le classement global d'une option en la classant plus haut.
2. Souveraineté : aucun choix social ne doit être impossible a priori.

Je vais commenter ces termes, car il est possible qu'ils ne soient pas immédiatement compréhensibles.
L'universalité correspond au fait que le système de vote doit proposer toutes les options possibles. Par exemple, s'il est possible de choisir la taille d'un jouet (petit ou grand) et sa couleur (rouge ou bleu), le choix (grand, bleu) doit pouvoir être choisi sur les bulletins de vote.
La non-dictature signifie qu'il n'existe pas de dictateur, c'est à dire une personne qui déterminerait à elle seule le résultat du vote.
L'unanimité signifie que si tout le monde est d'accord sur un candidat, alors c'est ce candidat qui doit être élu. C'est équivalent à avoir la monotonie (voter pour quelqu'un ne doit pas le faire baisser dans le classement) et la souveraineté (il n'y a pas de résultat rendu impossible par la procédure de vote).
L'indifférence aux options non pertinentes signifie que si un classement est fait entre des candidats, l'ajout ou la suppression de candidats ne doit pas changer les positions relatives des candidats. En gros, si je préfère la pomme à la poire, le fait de me proposer une orange ne changera pas ma préférence.

Le théorème d'impossibilité d'Arrow énonce que pour au moins trois candidats et au moins deux votants il n'existe pas de fonction sociale respectant les quatre propriétés exigées.
Evidemment, ce théorème a beaucoup fait débat, car s'il ne dérange pas ceux qui veulent un dictateur ou qui nient qu'il est possible de tirer un choix collectif de préférences individuelles, il met mal à l'aise les démocrates.
Ainsi, les critères ci-dessus sont à vérifier, pour déterminer s'ils sont vraiment indispensables dans une démocratie. En effet, peut-être y aura-t-il un résultat différent si les conditions imposées sont plus souples ?

Après réflexion, c'est l'indifférence aux options non pertinentes qui paraît déraisonnable. En effet, nous n'appliquons pas systématiquement ce principe lors de prises de décision, comme le témoigne par exemple le phénomène de vote utile, où un électeur peut voter dans un but stratégique et non pour exprimer sa préférence. En somme, l'électeur peut faire un choix en fonction de la globalité de l'échiquier politique, et un principe le niant paraît rétrospectivement irréaliste.
Ainsi, une version plus faible de l'indifférence aux options non pertinentes peut être envisagée : l'indifférence aux options les moins pertinentes, où l'électeur considère uniquement comme options pertinentes les membres du plus petit ensemble qui battent, dans les matchs deux à deux, toutes les options hors de l'ensemble. Par exemple, si A bat B, B bat C, C bat A et que A, B et C battent tous les autres candidats, alors A, B et C forment les seules options pertinentes.

En remplaçant l'indifférence aux options non pertinentes par l'indifférence aux options les moins pertinentes, il existe bien des fonctions sociales qui permettent d'obtenir un choix social à partir de préférences personnelles. De plus, il en existe même qui ne restent pas indécises, comme la Méthode Black me semble-t-il (qui est la méthode Condorcet si le candidat de Condorcet existe, et la méthode borda sinon).
Ainsi, le paradoxe de Condorcet est résolu, ce qui signifie qu'il est possible d'avoir un vote démocratique (au sens précisé ci-dessus, évidemment).

J'espère que cet article vous aura plus, et vous aura donné une meilleure idée de la difficulté d'établir un vote démocratique et de l'utilisation des mathématiques dans des domaines où on ne les attend pas forcément. ^^

Note : au départ j'avais pensé introduire différents exemples de systèmes de vote, ce qui aurait été intéressant mais rallongerait l'article sans que cela apporte grand chose au sujet initial.

(source : Wikipedia)
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Re: Vulgarisation

Message  Imryss le Lun 19 Oct - 22:17

Et pour changer de registre, un peu de vulgarisation amusante sur la pharmacologie Smile .

La totalité d'entre vous doit (ou devrait) connaitre l'ail.

L'ail fait le bonheur des cuisiniers et des gourmets, il parfume agréablement les viandes, les plats de légumes et les sauces. Son petit gout fort permet de relever le parfum de certains plats. De plus l'ail est connu pour ses bienfait sur la santé (il pourrait presque être qualifié de médecine douce) : il est antioxydant, antiseptique, et repousse les vampires, entre autre...

L'ail également la malheur des amoureux et des rencards. En effet il est connu pour son odeur tenace et persistante qui intervient après qu'on en ai mangé. Cela est dû à la présence dans l'ail de molécules odorantes volatiles qui sont résorbé au niveau du système digestif, passent dans la circulation sanguine et diffusent dans l'air au niveau des poumons.

Tout cela pour conclure par une phrase de mon professeur de pharmacologie :
Si vous avez mangez de l'ail ça sert à rien de vous laver les dents, vous allez puer du bec toute la journée
Very Happy

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