Un peu de mathématiques...

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Lun 27 Avr - 22:20

Ce que je veux dire, c'est que en sachant que les 4 premiers ont survécus, le 5ème peut penser que si le premier pistolet est bien le pistolet tueur, il mourra automatiquement s'il le prend.
J'ai bien compris, sauf qu'il faut pouvoir comparer le risque d'avoir peu de balle et le fait que le pistolet a déjà tiré sans tuer.

Je ne suis pas d'accord quand tu dis qu'il faut forcément qu'on arrive à 100% en additionnant les pourcentages, car pour le premier pourcentage je me suis basée sur le pourcentage de survie en sachant que le pistolet pouvait être soit tueur soit innocent.
Il n'y a que deux possibles : le prisonnier meure ou il ne meure pas. Chacune de ces possibilités est associée avec une probabilité, qui correspond à évaluer l'ensemble des univers où l'évènement arrive par rapport à l'ensemble des univers. La somme des deux possibilités donne l'univers total, qui correspond à l'ensemble des évènements.

S'il est innocent, 100% de survie. S'il est tueur, 0%. Cela fait une moyenne de 50% de chances de survie, non?
Prenons un astéroïde quelconque tombant sur la terre. S'il tombe sur toi, tu es certaine de mourir, s'il tombe ailleurs tu es certaine de survivre. Tu penses vraiment que pour tous les astéroïdes tombant sur la terre tu as 50% de chances de survivre ? Si tu n'es pas convaincue, tu peux répéter ce raisonnement pour les crises cardiaques ou les accidents...
Ce qui importe c'est de déterminer le pourcentage que le pistolet utilisé par les autres soit tueur ou pas, de façon à faire le choix le moins risqué.

Pour le deuxième, c'est un pourcentage minimum. Si le deuxième pistolet est innocent, alors il aura 100% de chances de survie. Sinon, il n'aura que 4 chances sur 6 de survivre.

Statistiquement, prendre le 2ème pistolet en cas de survie des 4 premiers prisonniers semble présenté plus de chances de survie que le premier, non?
Normalement non. Je dis normalement car je n'ai pas encore fini de vérifier le calcul.
Mais de toutes façons tu fais tes raisonnements sur le mauvais problème et sans tenir compte des informations dont tu disposes. C'est un peu comme si tu ne voyais qu'une partie de la situation.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Lun 27 Avr - 23:46

Comment ça je n'utilise pas les informations dont je dispose déjà? Je sais que le premier pistolet n'a pas encore tué... ça ne l'innocente pas pour autant!

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 28 Avr - 10:34

Tu n'utilises pas ce renseignement. A la rigueur c'est presque comme si tu te plaçais dans un cadre où tu ignores ce qu'il s'est passé précédemment.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Mar 28 Avr - 11:19

Je suis perdue là... je ne vois vraiment pas en quoi je l'ignore. Justement, j'en prend compte.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 28 Avr - 12:01

je me suis basée sur le pourcentage de survie en sachant que le pistolet pouvait être soit tueur soit innocent. S'il est innocent, 100% de survie. S'il est tueur, 0%. Cela fait une moyenne de 50% de chances de survie, non?
Les coups précédents apportent de l'information, car il est peu probable que le pistolet tueur ait tiré quatre coups non tueurs.
La question posée par le choix des prisonniers revient en fait à comparer deux éléments opposés :
1) Un coup non tueur porté "teste" un pistolet et diminue les chances que ce pistolet soit le pistolet tueur.
2) Un coup non tueur porté diminue le nombre de balles non tueuses et augmente les risques de mourir si le pistolet est le pistolet tueur.
Le premier incite à faire confiance au pistolet, le second incite à ne pas lui faire confiance. Tu ne tiens compte que du second.

Après, il est possible d'argumenter longtemps, mais si tu accordes un minimum d'importance aux faits la discussion sur ce qui est vrai s'arrête avec les résultats obtenus, alors que la discussion sur l'explication de ces faits peut continuer.
Les résultats mathématiques sont là : si ton raisonnement était juste le second aurait intérêt à changer de pistolet, mais ce n'est pas le cas.
De toutes façons, ton raisonnement ne peut être juste car il n'est pas cohérent d'obtenir une probabilité plus grande que 100%.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Mar 28 Avr - 12:13

Mon raisonnement est bancale, je l'accorde, mais pas nécessairement faux.

Je tiens compte plus particulièrement de la seconde théorie, il est vrai. Je suis également d'accord avec toi sur le fait qu'un tir teste le pistolet. En revanche, je dirais que le test ne devient véritablement efficace qu'à partir du moment où il y a un mort.

Ce que tu dis sur le 2ème devant prendre le 2ème pistolet est justement envisageable. C'est pour cela que je m'étais arrêté au premier prisonnier au début de notre conversation (flemme de calculer, d'autant que j'ai plus ou moins oublié le processus exacte pour le faire).
Justement... si on devait calculer les probabilités en sachant que le second (ou bien même le 3ème) peut changer de pistolet... Le sixième aurait-il toujours le plus de chances de s'en sortir?

Tirer 4 coups d'affilée avec un pistolet tueur sans qu'une vraie balle ne sorte peut être peu probable... mais pas impossible. N'est ce pas le même principe aléatoire que pour les dés?
C'est pourquoi les tests ne deviennent efficaces qu'à partir du premier mort.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 28 Avr - 18:22

Mon raisonnement est bancale, je l'accorde, mais pas nécessairement faux.
Il conduit à une incohérence, donc une proposition fausse permet de prouver n'importe quoi, il permet de prouver que je suis toi et je suis donc bien placé pour dire que tu fais erreur.
Il conduit à une incohérence, tu veux vraiment ergoter dessus ?

Je tiens compte plus particulièrement de la seconde théorie, il est vrai. Je suis également d'accord avec toi sur le fait qu'un tir teste le pistolet. En revanche, je dirais que le test ne devient véritablement efficace qu'à partir du moment où il y a un mort.
Sauf que j'ai démontré (en tout cas pour le second prisonnier) que même si le premier prisonnier survit il vaut mieux utiliser le même pistolet. Je serai ravi que tu me montres que tu as raison, que tu me montres que j'ai tort ou que tu montres autre chose de pertinent pour le sujet, mais pour l'instant tu te contentes d répéter ta théorie que j'ai comprise et réfutée.

Justement... si on devait calculer les probabilités en sachant que le second (ou bien même le 3ème) peut changer de pistolet... Le sixième aurait-il toujours le plus de chances de s'en sortir?
Le problème posé est clair : ils tirent successivement et en faisant le meilleur choix mathématique.
Soit il y a un mort, et le sixième prend le pistolet non tueur, soit il n'y en a pas et les cinq premiers ont intérêt à prendre le même pistolet, ce qui assure que le sixième prendra le pistolet non tueur. Il est même intéressant qu'il soit possible d'avoir une position certaine de survie (en fait c'est la seule).

Tirer 4 coups d'affilée avec un pistolet tueur sans qu'une vraie balle ne sorte peut être peu probable... mais pas impossible. N'est ce pas le même principe aléatoire que pour les dés?
Bien sûr. A ce stade le cinquième prisonnier n'est pas certain de s'en sortir. Normalement le calcul devrait montrer qu'il a intérêt à conserver le même pistolet.

Il s'agit de probabilités, et il est bien rare qu'un résultat soit certain. Il y a très souvent un risque, alors la question est de pouvoir l'évaluer.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Mar 28 Avr - 18:26

Tu as réfuté mathématiquement? Montre moi les calculs dans ce cas parce que je doute que mathématiquement, conserver le même pistolet soit la meilleure solution mathématiquement...

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 28 Avr - 18:30

Page 3 du topic (le message initialement était adressé à Elrohir) :

Le premier n'a pas vraiment le choix, vu qu'il n'a pas d'info. Il prend un pistolet au hasard et tire.
S'il meure, tout le monde sait quel est le bon pistolet. Donc les six suivants vont utiliser le pistolet non tueur. Les prisonniers 2 à 7 seront donc sauvés, et les autres auront des chances de se faire tuer avec la dernière balle tueuse.

Ainsi, je suis d'accord avec toi pour ce cas.

Second cas : le premier n'est pas mort. Nous avons donc un pistolet à cinq balle qui n'a pas tué et un pistolet à six balles qui reste intouché. Réfléchissons...
La question est de savoir ce qu'apporte l'information offerte par le premier tir. La question pour le second prisonnier est donc d'évaluer quel est le bon pistolet. Soit T l'évènement "le pistolet utilisé est tueur". Soit S l'évènement "le premier prisonnier survit".

Faisons de la spéculation (oublions ce que nous avons et examinons le problème sous un certain angle).
Admettons que nous sachions que le pistolet utilisé est tueur. Dans ce cas, le premier prisonnier a utilisé une des 4 balles blanches sur les six balles, et donc il avait une probabilité de survivre de 2/3. p(S|T) = 2/3
Or, p(S|T) = p(S&T)/p(T), d'où p(S|T)*p(T) = p(S&T), où p(S&T) est la probabilité que le premier prisonnier survive et que le pistolet soit tueur.
D'ailleurs, en l'absence d'information (le cas du premier prisonnier), il n'y a pas moyen de déterminer quel est le pistolet tueur, car p(T) =1/2 = p(-T).
D'où p(S&T) = p(S|T)*p(T) = 2/3 * 1/2 = 1/3.

Je n'ai pas encore utilisé l'info offerte par le premier tir (maintenant nous utiliserons le fait que le premier prisonnier a survécu).
Nous ne cherchons en fait pas à calculer le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre (ce qui revient à déterminer le pourcentage de chance pour que le pistolet utilisé soit tueur), mais le pourcentage de chance du second prisonnier de survivre EN SACHANT que le premier a survécu, soit p(T|S).
Nous avons p(T|S) = p(T&S)/p(S). Notons que p(T&S)=p(S&T) que nous avons déjà calculé, et calculons p(S).
p(S) est la probabilité que le premier prisonnier survive. C'est 1-p(-S) où l'évènement -S est l'évènement "le premier prisonnier meurt". Nous savons que p(-S)=1/6, comme tu l'as rappelé. D'où p(S) = 1- 1/6 = 5/6.
Donc p(T|S) = (1/3) / (5/6) = 2/5.

Conclusion, en sachant que le premier prisonnier a survécu, la probabilité que le pistolet utilisé soit le pistolet tueur est de 2/5 (en donc l'autre pistolet a une probabilité de 3/5 d'être le pistolet tueur).
Donc il vaut mieux dans ce cas que le second utilise le même pistolet que le premier (ce résultat, je l'avais intuité quand le problème m'a été posé ^^).

Je te laisse réfléchir ^^
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Mer 6 Mai - 18:55

Je sais pas où mettre cette énigme, donc je tente ici.

Une promo de 500 polytechniciens sont capturés par des terroristes et rapidement maitrisés. Le chef des terroristes décide alors de les soumettre à un test pour savoir s'il mérite d'avoir la vie sauve. J'aurais aussi pu la faire avec des normaliens, mais on est pas assez... Very Happy

Les terroristes installent une grande salle remplie de boîtes numérotées de 1 à 500, toutes identiques. A l'intérieur de chaque boite se trouve un bout de papier avec un numéro de 1 à 500 écrit dessus. Chaque boite contient un numéro différent.
Puis, ils font rentrer les élèves un par un dans cette salle. Chaque élève a le droit d'ouvrir 250 boites seulement et doivent trouver leur numéro. Si un élève n'a toujours pas trouver son numéro à l'issue des 250 ouvertures de boites, tous les élèves meurent. Twisted Evil
Bien sûr, les élèves ont droit à se concerter avant pour mettre en place une stratégie. La salle est remise dans son état exact d'origine entre 2 passages d'élèves. Si les 500 élèves réussissent l'épreuve, ils sont tous libérés.

Quel est la stratégie donnant les meilleurs chances de survie?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mer 6 Mai - 19:32

Ils passent un par pour retirer leur numéro ?
A quel moment exactement peuvent-ils communiquer entre eux ?

Tu devrais préciser car sinon la solution est aisée à trouver :

Spoiler:
Ils s'avancent ensemble, ouvre une boite chacun et constatent quel est le numéro dans la boîte.
Alors l'élève 1 demande qui a le numéro 1, et permute avec lui. Puis les suivants font de même jusqu'à ce que chacun se retrouve avec le bon numéro.
Enfin, ils sortent.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Jeu 7 Mai - 1:51

Ils sont mis au courant de la procédure de l'épreuve, puis avant même que l'épreuve commence, ils doivent se concerter pour une stratégie. Ensuite, les élèves rentrent un par un dans la salle: le premier élève fait ses 250 ouvertures de boites (ou moins s'il trouve le 1 avant), puis l'élève 1 sort, la salle est remise dans son état initial et l'élève 2 rentre... Donc, il y a toujours au plus un élève dans la salle.

Ah oui, les élèves déjà passés n'ont pas de moyen de communiquer avec les élèves non passés.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Jeu 7 Mai - 3:56

Ils disent à chacun de prendre le numéro qui est dans la boite de leur numéro. (Exemple: L'élève n°1 va chercher le numéro qui est dans la boite 1, l'élève n°2 dans la boite 2 etc...) et c'est en sortant de la salle qu'ils échangent les numéros.

De cette façon, tous les papiers seront trouvé et sortis des boites.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Jeu 7 Mai - 10:59

Est-il possible de changer les papiers de boîte sans que les terroristes les remettent dans leur boîte d'origine ?

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Jeu 7 Mai - 11:08

Les terroristes referment même les boîtes vides ?

Heu... atta, les élèves prennent leur numéro en sortant ou pas ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Jeu 7 Mai - 15:00

@ Apeiron et Elrohir:
J'ai dit que la salle était remise dans sa configuration initiale entre chaque passage d'élèves. Donc, même si un élève trouve son numéro, il le remet dans la boite et sort. Donc, toutes les boites ouvertes sont refermées, toutes les boites déplacée sont remises à leur emplacement initial, tout les papiers sont remis là où ils étaient...

@ Keira: les élèves passent uns par uns. Il n'y a jamais 2 élèves à la fois dans la salle. Donc, il ne peut pas avoir d'échange de papier.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Jeu 7 Mai - 15:36

Une dernière précision : un élève qui a trouvé son numéro avant la 250ème boîte peut-il ouvrir d'autres boîtes ?

Après tout, peu importe...
J'ai une première solution, qui est sinistre :

Spoiler:
Coupons la salle en deux : la partie A contenant les boîtes de 1 à 250 et la partie B contenant les boîtes de 251 à 500.
Les élèves se mettent d'accord de la façon suivante : les élèves de numéro impair fouillent la partie A et ceux de numéro pair la partie B.
Ainsi, le premier arrive et fouille la partie A. Le groupe a une chance sur deux de survivre.
Le second arrive. Comme il est vivant, il est évident que le numéro 1 est dans la partie A, donc il n'y a plus que 249 emplacements possibles pour le numéro 2 dans la partie A, contre 250 pour la partie B. Le fait de fouiller la partie B et non la partie A permet d'éviter à l'élève de numéro 2 de retomber sur le numéro 1.
Le troisième, s'il est en vie, saura qu'il a de nouveau une chance sur deux de survivre. Donc autant prendre la partie.
Et ainsi de suite.
Cette façon de faire augmente un peu les chances de la promo, mais c'est désespérant à quel point elle est faible.

Bon... il y a peut-être une meilleure solution.
J'ai trouvée celle-là en me demandant quelle information accessible pourrait aider les élèves. Comme pour l'instant je ne vois pas d'autre information utilisable, je déduis que cette solution pourrait être la meilleure, même si les chances de survie sont extrèmement basses.

Evidemment, tricher serait pas mal, mais c'est difficile vu les contraintes...
Derich, je suis dans le vrai ou y a-t-il un élément que j'ai négligé ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Jeu 7 Mai - 20:58

Il n'y a aucun élément que tu as négligé, ce n'est pas pour rien que j'ai mis cette énigme dans la section mathématiques.
Sinon, tu t'en doutes que ta solution n'est pas la meilleure.


Voilà un ordre de grandeur des chances de survie en utilisant une certaine stratégie, que je pense optimale.
Spoiler:
Je n'ai pas fait personnellement les calculs, mais les élèves ont environ 1/3 de chances de survie. Après, à vous de trouver la bonne stratégie...
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Ven 8 Mai - 2:46

Le terrorisme mathématique ... Ca fait peur ...


Et si on les laissait mourrir ? Twisted Evil

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Ven 8 Mai - 15:30

Et pourrais-tu être pertinent ?
Manifestement, Elrohir, tu sembles vouloir élever le flood au rang de discipline, mais malheureusement pour toi cette discipline n'est reconnue que dans un unique topic, et ce n'est pas celui-ci.

Derich, j'ai trouvé une arnaque !
En supposant que les terroristes n'attendent pas avant d'aller chercher un nouvel élève, j'ai une stratégie :

Spoiler:
Chaque élève qui entre utilise une minute par boîte (pour les détails, il y a moyen de peaufiner, par exemple avec des montres ou un clocher).
Quand l'élève 1 arrive et en admettant qu'il survit, il va ouvrir les boîtes dans l'ordre et utiliser n1 minutes pour trouver le premier numéro. Ainsi, quand l'élève 2 est appelé, ils savent tous que le numéro 1 est dans la boîte n1. L'élève 2 va alors ouvrir les boîtes les unes après les autres et passer la boîte n1. S'il survit, il va utiliser n2 minutes.
Il suffit aux élèves dans la salle de noter les nk pour déterminer peu à peu où sont les numéros déjà utilisés.

[edit]

Bon, en utilisant le principe que je viens d'énoncer, il y a peut-être moyen de faire mieux... En effet, pouvoir transmettre des informations aux autres élèves à l'insu des terroristes est assez fort...

Variante de la dernière, plus efficace mathématiquement, mais qui se fait griller trop facilement en pratique (à moins que les terroristes soient beaux joueurs...) :

Spoiler:
En supposant qu'il n'y a pas de limite de temps, et en remarquant qu'il n'y a QUE 500 boîtes...
Il suffit non pas de coder uniquement le numéro de celui qui est passé, mais mieux de coder tout ce que le premier a pu découvrir. Il ne reste plus qu'à créer un tel code de façon à ce qu'il y ait bijection entre la durée de passage et les informations à transmettre.
Le premier ouvre les boîtes les unes après les autres, et va donc coder les numéros successifs trouvés dans les boîtes (par exemple : 2, 419, 37, 54, 9, 276... où 2 est le numéro trouvé dans la première boîte, 419 celui trouvé dans le deuxième, etc.), ce qui peut se coder comme un nombre dans la base 500 (vu qu'il y a 500 boîtes).
Plus simplement, s'il n'y avait que dix boîtes, et que l'élève trouve 2 dans la première, 9 dans la deuxième, 7 dans la troisième, etc. il coderait le nombre 297... c'est la même chose ici en utilisant 500 caractères.
Il suffit de traduire ce nombre en base 60 pour l'écrire en heures/minutes/secondes. En pratique, il vaudrait mieux seulement coder en minutes puis coder le reste en nombre d'heures. En sachant cela, les élèves dans la salle peuvent écrire le nombre en heures/minutes, puis le retranscrire en base 500 pour savoir ce qu'a découvert le premier.
Quand un élève est déjà passé, l'élève suivant passe. Il y a deux cas : soit son numéro est déjà connu, et alors il ouvre 249 boîtes (ou toutes celles qui restent s'il y en a moins) puis ouvre sa boîte, soit son numéro est inconnu, et il ouvre les nouvelles boîtes une par une en espérant trouver son numéro. Dans tous les cas, s'il survit, il pourra attendre dans la salle le temps nécessaire pour transmettre ses informations.
Evidemment, si les élèves ont déjà des numéros attribués, il est plus rentable de faire passer ceux dont le numéro est déjà connu de façon à explorer plus de boîtes sans risque, mais vu ton texte il me semble que ce n'est pas permis.
Evidemment, les calculs sont délicats, mais ils sont sensés avoir les compétences nécessaires et le temps de réfléchir.
Pour perfectionner cette technique dans la pratique, il est nécessaire que les élèves se donnent un temps de réflexion dans la salle pour le codage (disons une heure) et se mettent d'accord sur une heure où commencer des fois que les terroristes aient des temps de transfert variables (il suffit d'estimer le plus grand temps possible pour un message, et de convenir de commencer à une certaine heure modulo ce temps plus le temps de réflexion prévu).
Dans la mesure où le premier a une chance sur deux de survivre, mais qu'ils doivent arrêter quand ils trouvent leur numéro (à ce qu'il me semble) il me semble arriver à ton 1/3. S'il n'y avait la contrainte d'arrêt, il est certain qu'ils auraient une chance sur deux de survivre avec mon arnaque, dans la mesure où le deuxième trouvera son numéro de façon certaine et que les suivants n'auront qu'à prendre leur numéro en connaissant toutes les positions des numéros.

Ici, il est à noter que c'est justement parce que les terroristes remettent tout en état que la méthode fonctionne... et qu'il s'agit d'un test d'aptitude et pas d'une course...
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Ven 8 Mai - 19:13

Ton astuce pourrait en effet marcher si les élèves connaissent la durée exacte de passage dans la salle. Il faudrait voir qu'es-ce que ça donne au niveau des probas... Mais, les élèves réussissent à communiquer avec ceux déjà passé en quelque sorte (le message se trouve dans le temps de passage).
Sinon, ta méthode ne donne-t-elle pas des temps de passage vraiment très long (pour 10 boites, ca pourrait être viable, mais pour 500 boites... ça doit se compter en millénaires au grand minimum...)


Bref, ça marche en théorie si les élèves disposent d'un moyen de mesurer le temps de passage. Cependant, ce n'est toujours pas la stratégie à laquelle je pensais.

Donc, pour complique les choses, on suppose que tous les élèves sont enfermés dans une salle sans fenêtre et que quand un élève est emmené pour passer l'épreuve, il est emprisonné dans une autre salle, sans avoir l'occasion de contacter ses camarades. Du coup, il n'y a aucun moyen de faire passer des informations sur la salle.


Bon, c'était bien tenté donc un autre indice:
Spoiler:
Rappel: on a une permutation (500 papiers numérotés dans 500 boites numérotés).
L'indice est: groupe cyclique Shocked

Pour les non matheux, un groupe cyclique est un groupe avec un nombre fini d'éléments. Ce groupe a la particularité d'admettre un element a tel que si on considère a, puis a*a, puis a*a*a... on obtient tout le groupe et on retombe sur a au bout d'un moment. (oui oui, ça existe en vrai ... et ça sert beaucoup ^^).
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Ven 8 Mai - 21:54

Ce n'est pas la solution à laquelle tu pensais, mais elle peut fonctionner.
Il ne s'agit pas d'une solution, mais d'une arnaque, l'idée étant de contourner l'absence d'information en provenance de la salle voulue par les terroristes par un moyen issu du processus mis en place par les terroristes eux-mêmes.
Ça se voit que je bouquine Liar Game en ce moment... Wink

Enfin, je veux bien chercher une autre idée.
Pour ton indice, ça m'était naturellement venu à l'esprit, mais j'ai privilégié l'exploitation des règles dans ma première approche. Je vais t'expliquer pourquoi :

Spoiler:
Il y a 500 numéros dans 500 boîtes numérotées. Cette situation peut être décrite par une permutation qui à une boîte associe le numéro qu'elle contient. Il s'agit donc d'un élément de S500, le groupe symétrique 500, c'ets à dire l'ensemble des permutations d'une ensemble contenant 500 éléments distincts. Caractériser la permutation permet de décrire la situation complète de la salle.
L'idée que j'avais eu était la suivante : que se passe-t-il si le premier élève ouvre la boîte 1, tombe sur le numéro n, puis ouvre la boîte n et tombe sur le numéro m, et qu'il continue de la sorte jusqu'à ce qu'il tombe sur le numéro 1 ? Il aura alors constitué un groupe cyclique formé des puissances de la permutation (1nm...). Ce groupe cyclique est un sous groupe de S500, donc son cardinal (nombre d'éléments) est un diviseur de 500!. Ce qui ne m'aide pas beaucoup.
En utilisant des théorèmes plus fins, nous avons que 500 = 2²*5^3 et donc dire que S500 contient des 2-Sylow et des 5-Sylow. Je pourrai continuer à analyser, mais je trouverai que ce ne serait pas fair-play pour les non-matheux qui ne peuvent utiliser de tels théorèmes.
C'est donc parce que je pense que la solution devrait être simple et que de façon simple je ne vois pas ce qu'apporte la création d'un groupe cyclique que j'ai privilégié la recherche d'une arnaque.

Petite question : un lycéen a-t-il les compétences techniques pour trouver la solution ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Sam 9 Mai - 2:07

Apeiron: Oui, c'est bien la solution à laquelle je pensais.

Spoiler:
En fait, la probabilité que les élèves meurent est égale à la proba qu'il y a un cycle de taille plus grand que 250 strictement.
Je n'ai pas fait personnellement le calcul, mais la personne qui m'a posé l'énigme m'a affirmé que cette proba était de l'ordre de 1/3, et que les calculs étaient un peu ch***...
A priori, un élève de lycée peut intuiter la stratégie, mais sans faire de lien avec les permutations (il n'a pas les connaissances de maths). Il est donc probablement incapable de calculer la proba exacte, sans réinventer un partie du cours sur les permutations.

Après, pour ton arnaque, je crains qu'il ne fasse un trop long temps pour la mettre en application: coder 250 nombres compris entre 1 et 500 en utilisant un système de base ou autre, donne de trop grand chiffres pour être applicable: l'élève passant l'épreuve mourra probablement de faim bien avant (voir de vieillesse, enfin, ça dépend de ton codage...).
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Sam 9 Mai - 11:58

Pour mon arnaque :

Spoiler:
- Le temps de trajet n'est pas pertinent si l'élève a une montre. Comme tu n'as pas précisé que les terroristes piquaient le matériel des élèves, il est tout à faire crédible de trouver quelques montres à refiler aux premiers élèves. En effet, il suffit de calculer le plus grand temps possible, appelons T, de se donner jusqu'à une heure exacte pour commencer (ce qui permet d'écraser le temps de trajet). Si les terroristes décident de l'inviter au resto pendant plus d'une heure, il suffit à l'élève d'attendre T, et s'ils continuent de n'utiliser que les modulos de T. Le seul problème réside dans le temps de latence une fois que l'élève est passé, mais s'il s'agit d'un test les élèves peuvent passer un marché avec les terroristes pour que les temps de transit soient connus de façon à faire perdre le moins de temps à tous. Mais en réalité ils n'ont même pas besoin de passer ce marché en partant du principe que les chiffres de fin sont peu fiables. Comme dans le nombre il n'y aura qu'un exemplaire de chaque chiffre, il est possible des déduire les derniers avec les premiers (la probabilité de faire une erreur était faible) ou tout simplement de décider de tronquer le nombre pour s'en tenir uniquement aux données certaines, et d'envoyer les trois premiers élèves coder les boîtes en mettant des zéros à la fin. Lorsque le message est reçu, il suffit de s'apercevoir qu'il y a plusieurs zéros pour savoir que la suite du message est non codante.

- J'ignore la valeur de T. Le plus grand nombre possible est de 500-499- ... -252-1 en théorie, et même 500-499- ... -252-1-1-1-1 en rajoutant du non-codant (il y a une translation de 1 à faire pour commencer à zéro dans la base 500). L'idée est qu'un tel nombre est énorme, mais qu'à ce stade la moitié des boites est connue et que la probabilité qu le nombre soit si énorme est faible. Il y aura soit plusieurs petits codages à faire, soit deux gros codages, dans la mesure où une fois les boîtes connues les autres ne peuvent prendre qu'une minute pour passer, connaissant tous déjà leur numéro. Après, il est possible de réduire le temps de façon exponentielle en réduisant la précision, par exemple en faisant des écarts de 10 secondes au lieu d'une minute, ce qui est faisable si les élèves respectent mon premier commentaire.

Bref, je pense tenir solution alternative et originale, qui fait peut-être même monter les chances de survie des élèves à plus d'un tiers.

Pour ta solution :

Spoiler:
Il parcoure un cycle... et alors ? Rien ne prouve que son numéro sera dans le cycle (de ce point de vue, ça revient à examiner les boîtes une par une) et comme il ne peut transmettre d'information, que devront faire les suivants ?
Je ne vois pas l'intérêt du cycle ici.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Derich le Sam 9 Mai - 12:18

Voilà la stratégie à laquelle je pensais:
Spoiler:
Quand un élève arrive dans la salle, il commence par ouvrir la boite avec son numéro n1. Il tombe sur le numéro n2, donc il ouvre la boite n2...
*Premier cas: il n'existe aucun cycle de taille strictement supérieur à 250: alors cet élève va parcourir tout le cycle avant d'avoir épuiser toutes ses ouvertures de boites. Donc, juste avant de retomber sur la première boite ouverte (celle à son numéro), l'élève a trouvé son numéro dans la boite, donc c'est bon :-)
*Second cas: il y a un cycle de longeur supérieure ou égale à 251: un élève ayant son numéro dans ce cycle va ouvrir ses 250 boites, mais n'aura pas le temps de parcourir le cycle en entier et ne trouvera pas la boite. X-(
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