Un peu de mathématiques...

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mer 18 Fév - 22:29

Je mets la réponse en spoiler pour ceux qui seraient intéressés plus tard...

Spoiler:
Les pièces ne forment pas un triangle. Ainsi, ce qui semble être l'hypoténuse est en fait une ligne brisée.
Ceci était pour illustrer que le cerveau a tendance à interpréter trop vite les faits. Un dessin n'est pas une preuve.
Le problème n'est choquant qu'en supposant que les pièces forment bien un triangle, mais un raisonnement par l'absurde permet de se dire qu'une hypothèse est fausse.

Pour rire, voici un algorithme permettant d'approcher la valeur d'une racine carrée ^^.
C'est l'algorithme dit "de Héron", qui aurait été développé par les babyloniens.

Soit un nombre a positif, dont nous voulons extraire la racine.
Prenons un nombre positif non nul x. N'importe lequel. Smile
Calculons 1/2 (x + a/x), nous avons une valeur.
Répétons l'opération en choisissant cette valeur pour x.
Plus l'opération est répétée, plus la valeur obtenue se rapproche (assez vite, même) de la valeur de la racine carrée de a.
Pour éviter de faire trop de boucles, il vaut mieux prendre au départ une valeur de x qui se rapproche de la valeur supposée de la valeur de la racine carrée de a.

Exemples.

1) Racine de 4.
Prenons par exemple x=1.
Alors 1/2 (1 + 4/1) = 5/2 = 2,5
1/2 (2,5 + 4/2,5) = 1/2 (5/2 + 8/5) = 1/2 (25/10 + 16/10) = 41/20 = 2,05
Etc.

2) Racine de 144.
En sachant que 100 c'est 10^2, prenons x=10
Alors 1/2 (10 + 144/10) = 244/20 = 61/5 = 12,2
Etc.

Vous l'aurez compris, il faut aimer les divisions ^^.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Dim 22 Fév - 0:46

A ce que je vois, vous n'aimez pas les divisions ^^

Avant de reparler racine, voilà un petit intermède pour Imryss.

Question : pourquoi la couleur au poker vaut-elle plus que la suite ?
Réponse : parce qu'elle apparaît moins fréquemment ^^

Mettons-nous dans la situation où tu tires cinq cartes au hasard du paquet, sans rien connaître d'autre que ton jeu.

Pour avoir une suite, il faut que tu tires les cinq cartes dont les valeurs se suivent. La première suite est As,2... et la dernière est 10, Valet, Dame, Roi, As. Il y a donc 10 suites possibles en terme de valeur (celle commençant par un As, celle commençant par un deux... celle commençant par un 10).
Ainsi, il faut choisir une suite, ce qui fait 10 possibilités. Chaque carte peut être de l'une des quatre couleurs, donc il y a 4^5 possibilités pour les couleurs des cartes.
Au total il y a 10*4^5 = 10*2^10 = 10*1024 = 10 240 possibilités de suites.

Pour avoir une couleur, il faut choisir une des quatre couleur, ce qui fait 4 possibilités, puis prendre les cinq cartes dans les 13 cartes de la couleur, ce qui fait (5 13) possibilités.
Cela fait donc 4*13!/(5!8!) = 4*(9*10*11*12*13)/5! = 4*9*11*13 = 5148 possibilités de couleurs.

Dans les deux cas, il peut y avoir des quinte flush.
Pour avoir une quinte flush, il faut choisir une suite (10 possibilités) puis fixer la couleur (4 possibilités). Donc il y a 4*10 = 40 possibilités de quinte flush.

Bilan :
10 200 possibilités de suites sans quinte flush.
5108 possibilités de couleurs sans quinte flush.
40 possibilités de quinte flush.

J'ai pris la peine de vérifier mon raisonnement sur Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_au_poker
(ce qui m'a fait modifier mon exposé car j'avais oublié les quinte flush ^^).

Ainsi, Imryss, il y a en gros un peu moins de deux fois plus de possibilités de suite que de couleurs. Donc en gros deux fois plus de chance de sortir une suite qu'une couleur.

Ça te va ?

Note : l'article annonce qu'au Texas Hold'em, il y a 6 180 020 combinaisons de suites, d'où une probabilité de 4.619%, et 4 047 644 combinaisons de couleurs, d'où une probabilité de 3.025%.
Il semblerait que le fait d'augmenter le nombre de cartes disponibles ait réduit l'écart entre les deux. Il n'est plus du simple au double, mais juste de 50% en gros.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Dim 22 Fév - 15:32

Veux jouer poker !!!!!!! Mais les stats servent à rien puisque de toute façon on mise toujours tapis dès qu'on a une paire ...

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Imryss le Dim 22 Fév - 15:33

Tu mise toujours tapis avec une pair, nuance Rolling Eyes

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Dim 22 Fév - 15:34

Oui mais ya toujours au moins deux rigolos qui suivent ! Razz

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Dim 22 Fév - 16:01

Admettons que le lien Wikipédia soit juste.

Si le talon est de 40 cartes, la probabilité qu'un joueur ait plus qu'une paire (d'as) est de 21,5%.
Donc la probabilité qu'un joueur ait moins qu'une paire (d'as) est de 78,5%.
D'où, la probabilité que deux joueurs ait moins qu'une paire (d'as) est de (78,5%)^2= 61,6 %.
S'ils sont trois à suivre, ça passe à (78,5%)^3 = 48,4%.

Voyons maintenant pour une paire de 7.
Si le talon est de 40 cartes, la probabilité qu'un joueur ait plus qu'une paire de 7 est de 53,1%.
Donc la probabilité qu'un joueur ait moins qu'une paire (d'as) est de 46,9%.
D'où, la probabilité que deux joueurs ait moins qu'une paire (d'as) est de (46,9%)^2= 22,0 %.
S'ils sont trois à suivre, ça passe à (46,9%)^3 = 10,3%.

Ça dépend de la paire...
Enfin... les calculs sont faits pour le poker fermé.
Pour le Hold'em, les probabilités d'avoir davantage qu'une paire augmente, vu qu'il y a deux cartes supplémentaires.
Quand tu seras rentré, j'attendrai ton tapis avec impatience ^^.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Dim 22 Fév - 16:14

Tu vas kiffer te faire pouiller ...

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Dim 22 Fév - 18:24

Chiche ^^

Voici maintenant une méthode plus moderne de calcul des racines !
(une fois arrivé à la fin, je me suis aperçu que ce n'était pas si intéressant, je posterai une autre méthode plus tard, en plus elle est un peu compliquée pour ceux qui ne sont pas habitués...)

D'abord un petit résumé introductif, mais il est possible de passer directement au calcul ^^
Ce calcul est basé sur le développement en série des fonctions. Cela consiste à dire qu'autour d'une valeur (habituellement zéro) une fonction peut être approchée par une somme de monômes... c'ets à dire par un polynôme de degré plus ou moins grand. Chaque monôme va avoir un coefficient, appelé "le coefficient à l'ordre n du développement en série de la fonction [truc]" ou "le coeff à l'ordre n de [truc]" pour les habitués.
Ainsi, par exemple, si f est suffisamment "sympathique", pour un x assez petit, je vais pouvoir écrire que :
f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + aN*x^N + o(x^N), où o(x^N) est le reste à l'ordre n, considéré comme négligeable quand x est petit (il peut être évalué néanmoins si f est vraiment "sympathique"), et aK est le coeff à l'ordre k de f.
Quand je dis que f est "sympathique", cela signifie qu'elle vérifie suffisamment de propriété de régularité (continuité, dérivation, continuité de la dérivée, etc.) ou que son développement en série vérifie des propriétés intéressantes (converge plus ou moins par exemple).
Bon, j'ai dit que x était petit pour que mon exemple se fasse autour de zéro, mais pour certaines fonctions il est possible de faire l'approximation assez loin de zéro.

Ainsi, une formule générale énonce :
(1+x)^a = 1 + ax + ( a(a-1)/2 )*x^2 + ... + ( a(a-1)...(a-n+1)/n! )*x^n + o(x^n)
En prenant a = 1/2 et en veillant que 1+x soit positif, nous retombons sur la fonction racine :
racine(1+x) = 1 + (1/2)*x + ( (1/2)(1/2 -1)/2 )*x^2 + ( (1/2)(1/2 -1)(1/2 -2)/3! )*x^3
= 1 + x/2 -x^2/8 + x^3/16 + (reste)
Quand j'ai voulu vérifier mon calcul, je suis tombé sur une mise en garde disant que x en module devait être strictement plus petit que 1, c'est à dire que x doit être dans ]-1,1[. A vrai dire (et c'était le but de ma conversation avec Derich), je ne sais pas trop ce qu'il en est.

Bref, nous voilà avec une formule du type :
racine(1+x) = 1 + x/2 -x^2/8 + x^3/16 + (reste)

Passons aux calculs ^^
racine(1) = racine(1+0) = 1 + 0/2 -0^2/8 + 0^3/16 + (reste, qui vaut zéro quand x=0) = 1.
racine(4) = racine(1+3) = 1 + 3/2 -3^2/8 + 3^3/16 + (reste) = 1,375 +27/8 + reste = 4,75 +reste (hum... la précaution serait vraie en fait...)
racine(3/2) = racine(1+1/2) = 1 + (1/2)/2 - ( (1/2)^2) /8 + ( (1/2)^3 )/16 + (reste) = 1+1/4 - 1/32 + 1/128 + reste = 1,227... la calculatrice donne 1,225..., pas mal.
racine(2) = racine(1+1) = 1 + 1/2 -1^2/8 + 1^3/16 + (reste) = 1 + 1/2 - 1/8 +1/16 + (reste) = 1,4375 +reste
En fait racine(2) = 1,4142... donc le reste commence par 0,023... (oui, je sais, j'ai pris x=1 et c'est déconseillé)
Un peu faible.
Prenons un ordre plus grand :
(1+x)^a = 1 + ax + ( a(a-1)/2 )*x^2 + ... + ( a(a-1)...(a-n+1)/n! )*x^n + o(x^n)
racine(1+x) = 1 + x/2 -x^2/8 + x^3/16 - (x^4) *(5/128) + (reste)
racine(2) = racine(1+1) = 1 + 1/2 -1^2/8 + 1^3/16 - (1^4)*(5/128) + (reste) = 1 + 1/2 - 1/8 +1/16 -5/128 + (reste) = 1,398... +reste (de 0,016...)

Bon.
Les calculs indiquent que la méthode est applicable pour chercher des racines de nombres entre 0 et2, et qu'il faut calculer un certain nombre de termes avant d'arriver à un résultat satisfaisant.
Donc la méthode par le développement limité est plutôt pour étudier les fonctions autour de 0 que pour avoir des valeurs générales.

Il n'empêche racine(1+x) = 1 + x/2 -(x^2)/8 + (x^3)/16 - (x^4) *(5/128) + (reste) semble rester vrai si x appartient à ]-1,1[, donc ce peut être intéressant pour calculer de petites racines rapidement.

Pour les grosses racines, ce sera pour le prochain épisode !
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Dim 22 Fév - 18:43

Il n'empêche racine(1+x) = 1 + x/2 -(x^2)/8 + (x^3)/16 - (x^4) *(5/128) + (reste) semble rester vrai si x appartient à ]-1,1[, donc ce peut être intéressant pour calculer de petites racines rapidement.
Peut-on savoir ta conception de la rapidité ?

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Dim 22 Fév - 19:59

En allant seulement à l'ordre 3, la formule est :
racine(1+x) = 1 + x/2 -(x^2)/8 + (x^3)/16 + reste.

Si la racine s'y prête, le calcule se fait rapidement.
Par exemple, calculons la racine de 2/3 :
racine(2/3) = (racine 1 -1/3)
= 1 + (-1/3)/2 -((-1/3)^2)/8 + ((-1/3)^3)/16 + reste.
= 1 -1/6 - 1/9*8 - 1/27*16 + reste.
Et là tu prends ce qui t'intéresse.
Les termes - 1/9*8 et - 1/27*16 sont très petit, tu peux t'en tenir en fait à l'ordre 1 avec racine(2/3) = 1 -1/6 + reste.
Dans ce cas : racine(2/3) = 1 -1/6 + reste = 5/6 + reste = 0,8333... + reste.
La calculatrice indique 0,816...

Donc, en gros, racine (1+x) = 1+ x/2 + reste, si x est assez petit (en s'en tenant à l'ordre 1).

De même, tu peux calculer :
racine(5/4) = racine(1 +1/4) = 1 + (1/4)/2 + reste = 1 + 1/8 + reste = 1,125 + reste
La calculatrice indique : 1,118...

Si tu veux être plus précis, il te faut garder les termes négligés.
Par exemple, en gardant -(x^2)/8 :
racine(5/4) = racine(1 +1/4) = 1 + (1/4)/2 - ((1/4)^2)/8 + reste = 1 + 1/8 - 1/16*8 + reste = 1 + 15/16*8 + reste
= 1 + 15/16*8 + reste = 0,117... + reste
(ce qui est effectivement plus précis ^^)

Mais il y a un meilleur algorithme encore.
Celui-ci est plus intéressant pour l'analyse des fonctions que pour fournir des résultats, même si (1+x)^a = 1 + ax + reste est assez intéressant.

Au passage, tu noteras que cela correspond avec ce que tu sais pour (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 = 1 + 2x + reste, si x est assez petit.

De plus, il est intéressant de noter que lorsque a est un entier, a*(a-1)*...*(a-n+1)/n! = a! / (n! (a-n)!) = (n a), la formule que j'ai donnée pour "n parmi a".
Alors (1+x)^a = 1 + ax + ( a(a-1)/2 )*x^2 + ... + ( a(a-1)...(a-n+1)/n! )*x^n + o(x^n)
= 1 + ax + ( a(a-1)/2 )*x^2 + ... + ( a(a-1)...(a-n+1)/n! )*x^n + ... (en allant jusqu'au bout) + x^a
= (0 a)*x^0 + (1 a)x^1 + (n a)*x^n + ... (en allant jusqu'au bout) + (a a)*x^a
= somme(de k=0 à k=a) des (k a)*x^k
= somme(de k=0 à k=a) des (k a)*x^k*1^(n-k)
Ce qui est la formule du binôme de newton avec 1 en premier terme et x en deuxième terme.

Petit rappel, le binôme de Newton est la formule qui dit que :
(a+b)^n = somme(de k=0 à k=n) des (k n)*a^k*b^(n-k)
Par exemple, pour n=2, (a+b)^2 = a² + 2ab + b².
Et pour n=3, (a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 10 Mar - 18:54

Comme je vois que le sujet sur les racines n'a pas déplacé les foules, je vais proposer une digression avant de livrer l'algorithme efficace d'extraction de racines.
En plus cela permettra à tous de réviser la combinatoire/proba de lycée, qui est "sensée" être connue par au moins ceux qui ont un bac ES et ceux qui ont un bac S.

Problème des deux pistolets.

Dans un pays ayant légalisé la peine de mort, un juge compatissant mais à l'humour intrigant a décidé de condamner douze coupables de la façon suivante :

Le juge a fait préparer deux pistolets pouvant tirer chacun six coups. L'un est chargé par six balles à blanc, l'autre est chargé par deux vraies balles et quatre balles à blanc.
Si l'un prisonnier fait du grabuge ou ne suit pas les règles du jeu, il est abattu par les gardes.
Les prisonniers doivent s'aligner et former une colonne.
Puis le premier va dans une pièce vitrée aux vitres blindées, choisit un des pistolets, le pose sur sa tempe et tire. Chacun peut voir quel pistolet il a choisi et voir si la tête du condamné explose ou pas. Si le prisonnier ne peut sortir seul pour des raisons anatomiques évidentes, les gardes sont chargés d'évacuer le corps.
Puis le suivant peut entrer dans la cabine et répéter le processus.
La séance s'arrête quand la file est vide.

Sous la pression, les capacités cognitives des condamnés s'activent et ils synthétisent le problème en se rappelant de leur cours de lycée (il y a un qui a bien un bac L, mais il a potassé en cachette, le filou ^^). Ainsi, chaque prisonnier pourra évaluer le problème rationnellement et agir en conséquence.
Imaginez que vous êtes un des prisonniers et que vous soyez le premier à parler. Où vous placez-vous au début de la séance ?

Quelle est statistiquement la meilleure place dans la file au début de la séance ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Mar 10 Mar - 20:41

Moi je me mettrais 8ème ou 9ème ... Ne me demande pas le calcul mais instinctivement il faudrait qu'un des premiers se soit tué pour qu'on sache quel pistolet a des chances d'être léthal tout en ayant une chance qu'il reste des balles dans l'autre ...

Sinon d'un point de vue personnel, je ne jouerais pas le jeu quitte à me faire descendre par les gardes ... Je me mettrai donc en dernier dans la file : ainsi soit les deux balles ont déjà été tirées et je ne risque plus rien, soit je suis sûr qu'il reste une balle et je dispose alors d'une arme que je sais être léthale pour tenir en respect ceux qui essaieraient de rentrer dans la pièce blindée. Après j'essaierais sûrement de sortir pour tuer un des instruments de ce système inique. ^^

Euh sinon je te signale qu'on peut se tuer avec une balle à blanc ... Surtout à bout touchant (canon de l'arme en contact direct).

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 10 Mar - 21:57

Moi je me mettrais 8ème ou 9ème ... Ne me demande pas le calcul mais instinctivement il faudrait qu'un des premiers se soit tué pour qu'on sache quel pistolet a des chances d'être léthal tout en ayant une chance qu'il reste des balles dans l'autre ...
Tu ne veux pas essayer ?
(au passage, léthal n'existe pas en français, mais létal, si)

Sinon d'un point de vue personnel, je ne jouerais pas le jeu quitte à me faire descendre par les gardes ... Je me mettrai donc en dernier dans la file : ainsi soit les deux balles ont déjà été tirées et je ne risque plus rien, soit je suis sûr qu'il reste une balle et je dispose alors d'une arme que je sais être léthale pour tenir en respect ceux qui essaieraient de rentrer dans la pièce blindée. Après j'essaierais sûrement de sortir pour tuer un des instruments de ce système inique. ^^
Les gardes ont des combinaisons pare-balles et la pièce est au cœur d'une prison bien gardée, sous surveillance ^^
Et si nous nous placions dans le cadre du jeu, hmh ?

Euh sinon je te signale qu'on peut se tuer avec une balle à blanc ... Surtout à bout touchant (canon de l'arme en contact direct).
Ah ? Perso je n'ai jamais essayé, mais si tu dis vrai alors considérons qu'ils se pointent le pistolet vers la tempe mais qu'il n'y a pas contact.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Imryss le Mar 10 Mar - 22:13

Je suis navré, je pense pouvoir calculer la place qui a la meilleur probabilité d'avoir identifié quel était le pistolet aux vrai balles mais je ne peu pas tenir compte du nombre de balles restantes dans l'autre pistolet.

D'ailleurs :

/proba

Oui vu au lycée

la combinatoire

Jamais entendu parlé, c'est pas un truc de spé math?

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Mar 10 Mar - 23:53

D'instinct (parce qu'il fait trop chaud dans ce fichu bled et que je n'ai pas envie de faire le calcul, la flemme, désolée Razz ) je pense qu'on aura plus de chances de s'en sortir si on est le premier.

Pourquoi?

Parce qu'au début on aura 2/12 de tomber sur une balle léthale, et 6/12 de tomber sur une balle blanche.

Les statistiques pour les autres personnes deviennent ensuite trop aléatoire en fonction des résultats.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Imryss le Mer 11 Mar - 0:07

Euh Keira, sachant que tout les pistolets on 6 balles, blanche ou pas, et que la somme de tes probabilités fait 8/12.

Les 4/12 cas restant il se passe quoi? Shocked

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Keira le Mer 11 Mar - 0:20

Oups, excusez moi, je voulais dire 10/12 de chances de survie Embarassed Faute d'inattention, désolée

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mer 11 Mar - 0:36

Je suis navré, je pense pouvoir calculer la place qui a la meilleur probabilité d'avoir identifié quel était le pistolet aux vrai balles mais je ne peu pas tenir compte du nombre de balles restantes dans l'autre pistolet.
Si tu sais quel est le pistolet qui a les vraies balles, tu sais qu'il n'y a pas de vraies balles dans l'autre pistolet, d'après le texte. Et si tu penses pouvoir calculer un truc pertinent, vas-y ^^

Jamais entendu parlé, c'est pas un truc de spé math?
C'est juste qu'ils ne vous ont pas dit que ça s'appelait comme ça. Combinatoire, c'est le nom sérieux pour dire "les manières (l'art?) de compter des trucs".

D'instinct (parce qu'il fait trop chaud dans ce fichu bled et que je n'ai pas envie de faire le calcul, la flemme, désolée Razz ) je pense qu'on aura plus de chances de s'en sortir si on est le premier.

Pourquoi?

Parce qu'au début on aura 2/12 de tomber sur une balle léthale, et 6/12 de tomber sur une balle blanche.
Bonne idée, mais au final tu as une chance sur deux de tomber sur le mauvaise pistolet, et après une chance sur trois de recevoir une vraie balle, donc une chance sur six de mourir (ce qui correspond au 2/12, au passage ^^).
C'est dans la moyenne... d'ailleurs c'est la moyenne, vu qu'il y aura deux morts sur les douze condamnés. Donc je dirai que ce n'est pas un mieux, mais un score normal.
Pas d'idée pour augmenter le score ?

Les statistiques pour les autres personnes deviennent ensuite trop aléatoire en fonction des résultats.
Mais ça peut se calculer, surtout en sachant qu'ils vont agir rationnellement... Smile

Euh Keira, sachant que tout les pistolets on 6 balles, blanche ou pas, et que la somme de tes probabilités fait 8/12.

Les 4/12 cas restant il se passe quoi?
Hé, y'en a un qui suit ^^ Bien vu ^^
Perso, j'avais passé puisque j'ai l'habitude de me contenter de savoir que deux gus vont mourir pour en déduire que dix restent en vie, et donc je n'ai pas fait attention à la fin de la phrase.
Peut-être que je pense trop souvent que les autres ont raison ^^
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Elrohir le Mer 11 Mar - 3:42

Franchement j'ai essayé mais j'ai jamais su calculer des probas.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mer 11 Mar - 21:44

Voilà un petit rappel qui pourrait t'aider :

Probabilité d'un évènement A pris dans un univers U : p(A) = card(A)/card(U), où card(E) est le cardinal de l'ensemble E, c'ets à dire son nombre d'éléments.

Exemple : A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré}
La probabilité de faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré est p(A) = 2/6 = 1/3.

La probabilité de A sachant B (où B est un évènement possible, c'est à dire de probabilité non nulle) est défini comme étant : p(A|B) = p(A et B) / p(B).

Exemple : A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré} et B={le chiffre qui va sortir est pair}
La probabilité de faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré sachant que le chiffre qui va sortir est pair est
p(A|B) = p(le nombre est 5 ou 6 et est pair) / p(le chiffre qui va sortir est pair)
= p(le 6 va sortir) / p(le 2, le 4 ou le 6 vont sortir)
= (1/6) / (3/6)
= 1/3

A et B sont dit indépendants si p(A et B) = p(A)*p(B).

Exemple, A={faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré} et B={le chiffre qui va sortir est pair}
p(A) = 1/3 et p(A|B) = 1/3, d'où p(A|B) = p(A).
p(A|B) = p(A et B) / p(B) d'où p(A et B) = p(A|B)*p(B).
Nous déduisons ici : p(A et B) = p(A)*p(B), donc A et B sont indépendants.
Donc faire 5 ou 6 avec un dé à six faces équilibré est indépendant du fait que le chiffre qui va sortir est pair.
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Lun 16 Mar - 13:15

Comme vous avez l'air d'avoir du mal à résoudre le problème, je vais vous apporter un indice sous forme de réflexion...

Keira a dit avec raison qu'au delà du premier il devient difficile dans le cas général d'évaluer l'ensemble des possibles pour chacun. En fait il faudrait faire un arbre, et prendre en compte le choix du prisonnier et ce qu'il se passe.
Le premier prend un pistolet et il peut mourir ou pas, le second a le choix du pistolet et dans le cas du mauvais il peut mourir ou pas, etc.
Evidemment, il y a des choix qui ont l'air d'être évident. Par exemple si le premier s'est tué avec un pistolet, le second prendra l'autre pistolet. Wink
Mais je tiens à rappeler que les prisonniers agissent rationnellement, c'est à dire qu'ils vont faire le choix qui maximise leur chance d'après un calcul de probabilités.
Prendre un prisonnier et déterminer brutalement quelles sont ses chances a l'air trop délicat, mais qu'en est-il si nous les prenons un par un dans l'ordre de la file ?
Je dis ça parce qu'il a l'air plus facile d'évaluer ce que fera le premier et ce qu'il pourrait lui arriver, et en sachant cela d'évaluer ce que fait le second, etc.

Alors ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 24 Mar - 20:30

Vous faudrait-il un nouvel indice ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Imryss le Mar 24 Mar - 21:02

J'ai réfléchi au problème pendant un moment avec mes cours de maths, je ne peu pas résoudre se problème autrement que de manière instinctive, qui me fait penser que la meilleur place est la septième.

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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Mar 24 Mar - 22:02

Intéressant, tu pourrais développer un peu plus ?
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Re: Un peu de mathématiques...

Message  Apeiron le Jeu 2 Avr - 16:59

Heu... s'il te plaît ?

Pendant que vous séchiez le problème, j'ai trouvé une histoire anglaise parlant d'un "ami" commun que nous appellerons PA : http://yudkowsky.net/assets/pdf/LobsTheorem.pdf
Et si vous voulez un peu de français, demandez à Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Curry
(c'est assez délicat comme pensée, mais dites-vous que c'est un peu les bases des maths ^^ )

Pour le problème des prisonniers, je ne peux que vous poser le problème autrement sans vendre la mèche :
- Que fait le premier ? Quel est sa probabilité de s'en sortir ?
- Que fais le second, sachant ce qu'a fait le premier ? Il faut donc séparer les cas selon ce qui est arrivé au premier et calculer dans ces cas quel est le meilleur choix... Quel est sa probabilité de s'en sortir ?
- Et le troisième ?
- Etc. ?

Mais peut-être n'êtes-vous pas curieux pour ce problème ?
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