Un peu de mathématiques...

En effet... ma mauvaise manie de lire trop vite les énoncés a encore frappé. ^^

Mais du coup, la question de quel est l'objectif du devin reste d'actualité:
- S'il est complètement impartial et fait ses prédictions au pif, le joueur vaut mieux prendre les boîtes A et B à chaque fois.

- Dans le cas où tu soulèves où le devin prédit exactement le comportement du joueur avec une acuité de 100% (je sens le contre-argument diagonal arriver... ), prendre uniquement la boîte A est la meilleure des solutions.

- Maintenant, le cas intéressant, c'est si le but du devin est d'avoir une acuité maximale. Du coup, on a 2 états d'équilibre, A étant instable vis à vis du joueur (qui peut chercher à gagner 1000€ en plus de son million). Donc, on tombe sur un dilemme du prisonnier...

Calcul de racine de 2 !

Les babyloniens savaient comment calculer facilement une bonne approximation de racine de 2 :
- choisir un nombre quelconque x0, prenons x0 = 1 par exemple
- répéter jusqu'à ce que la précision voulue soit atteinte : xn+1 = xn/2 + 1/xn

En effet, supposons qu'on répète l'opération indéfiniment pour obtenir une valeur exacte x, vérifiant x = x/2 + 1/x, alors en multipliant des deux côtés par 2x on a 2x² = x² + 2 d'où x² = 2. x est donc bien la racine de 2.

En réalité c'est une application d'une méthode plus générale pour calculer la racine de A, appelée la méthode de Héron.
- choisir un nombre quelconque x0, si possible proche du résultat attendu
- répéter jusqu'à ce que la précision voulue soit atteinte : xn+1 = (xn + A/xn)/2

En effet, si x = (x + A/x)/2 alors en multipliant des deux côtés par 2x on a 2x² = x² + A donc x² = A. On retombe facilement sur les premières formules en faisant A = 2.

Mais cette méthode est elle-même un cas particulier d'une méthode plus générale : la méthode de Newton, donc le but est de trouver un x tel que f(x) = 0.
En prenant f(x) = 0 et un xn proche de x, si f est dérivable alors f'(xn) = (f(x) - f(xn))/(x - xn) = -f(xn)/(x - xn), d'où x = xn - f(xn)/f'(xn).

En appliquant cette méthode à f(x) = x² - A on a f'(x) = 2x d'où :
xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn) = xn - (xn² - A)/2xn = (2xn² - xn² + A)/2xn = (xn² + A)/2xn = (xn + A/xn)/2
Ce qui permet effectivement de retomber sur la méthode de Héron.